Matematické Fórum

Honza90

Dobrý den. Chtěl bych si jen ujasnit konstrukci vnější(exterior) algebry vektorového prostoru, jestli se to tak dá nazývat. Vnější součin vektorů $e_{1},e_{2} \in V$ je definován jako $det\{e_{i,j}\}$ a
to lze chápat jako bivektor, který sám o sobě je prvkem báze prostoru $\Lambda ^{2}V$ který je sám vektorovým prostorem. Teď tuším, že by $\Lambda ^{2}V$ měl být uzavřený na násobení, aby se jednalo o algebru.
Tedy, jeli $V$ dimenze 3, pak báze $\Lambda ^{2}V$ je
$\{e_{1}\wedge e_{2},e_{1}\wedge e_{3},e_{2}\wedge e_{3}\}$

Teď nevím, jestli to násobení je opět ten "wedge" nebo jak je definované
$\alpha (e_{1}\wedge e_{2})\wedge \beta (e_{1}\wedge e_{3})=-\alpha \beta (e_{2}\wedge e_{1}\wedge e_{1}\wedge e_{3})$
protože $e_{1}\wedge e_{1}=0$ tak by to celé bylo nula, ale to se mi nezdá. Ano jsou to ortogonální prvky, takže jejich skalární součin by měl být nula, ale $e_{1}\wedge e_{2}\not =0$ a e1,e2 jsou taky ortogonální.

Pomůže mi někdo do toho trochu proniknout? Díky :)

EDIT: Našel jsem poučku, která tvrdí, že pokud součet "řádů" násobených prvků, v tomto případě 2 + 2 je větší než dimenze $V$ (ta je 3) pak wedge těchto dvou bude 0 jak jsem napsal. Takže aspoň vím, že tady už se $\wedge$ chová jinak. Na tomto prostoru by měl být zaveden ještě nějaký skalární součin, ale nedaří se mi rozlousknout jeho definici.

Brano · 07. 04. 2013 02:43 — Editoval Brano (07. 04. 2013 02:45)

$\Lambda^2\mathbb{R}^3$ netvori algebru ale iba jej cast. Grasmannova algebra je
$\Lambda^0\mathbb{R}^3\oplus\Lambda^1\mathbb{R}^3\oplus\Lambda^2\mathbb{R}^3\oplus\Lambda^3\mathbb{R}^3$
resp.
$\Lambda^0\mathbb{R}^n\oplus\Lambda^1\mathbb{R}^n\oplus...\oplus\Lambda^n\mathbb{R}^n$

http://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra

Honza90 · 07. 04. 2013 02:50

↑ Brano:
ano ano, to jsem si vědom. Teď se snažím pochopit význam Hodgeova star operatoru.

Brano · 07. 04. 2013 03:37 — Editoval Brano (07. 04. 2013 23:33)

zakladna pointa je v tom, ze $\Lambda^k\mathbb{R}^n$ je izomorfne s $\Lambda^{n-k}\mathbb{R}^n$ (maju rovnaku dimenziu) a $*$ je ten izomorfizmus; napr. medzi $\Lambda^1\mathbb{R}^3$ a $\Lambda^2\mathbb{R}^3$ je prirodzene ho definovat tak, ze $*e_1=e_2\wedge e_3$ , $*e_2=e_3\wedge e_1$ , $*e_3=e_1\wedge e_2$ a potom si mozes vsimnut, ze ak $\alpha,\beta\in\Lambda^1\mathbb{R}^3$ potom
$\alpha\wedge*\beta=(\alpha\cdot\beta)e_1\wedge e_2\wedge e_3$

pozor: mozu byt rozne konvecie co by sa lisili v znamienku alebo konstante

vzdy plati $\alpha\wedge*\beta\in\Lambda^n\mathbb{R}^n$ cize de facto konstanta, takze to definuje "skalarny sucin"

Honza90

↑ Brano:
když ale vezmu z $\Lambda \mathbb{R}^{3}$ : $\alpha =e_{1}, \beta =e_{1}\wedge e_{2}$ pak $*\beta = e_{3}$ , $\alpha \wedge *\beta = e_{1}\wedge e_{3}$ a to není $\Lambda^3\mathbb{R}^3$

mám pocit že $\alpha ,\beta$ musí být oba k-vektory jinak to neplatí

Brano · 07. 04. 2013 22:50 — Editoval Brano (07. 04. 2013 23:34)

to vseobecne vyjadrenie je, ze $\alpha\wedge*\beta\in\Lambda^n\mathbb{R}^n$
plati ak $\alpha,\beta\in\Lambda^k\mathbb{R}^3$ (t.j. rovnake $k$ ako si povedal)

Honza90 · 07. 04. 2013 23:29

↑ Brano:
jasne, ja myslel ze $\Lambda \mathbb{R}^{3}$ znaci celou algebru. Takze skalarny soucin mezi vektory jineho ranku proste neni definovan, nebo je automaticky 0? Pak jsem jeste premyslel jestli existuje neco jako identita k wedge productu: $e_{1}\wedge x=e_{1}$ ?

Brano · 07. 04. 2013 23:32 — Editoval Brano (07. 04. 2013 23:40)

↑ Honza90:
aha vidis to, moja chyba, popridavam tam tie jednotky do mocnin ..

jednotka wedge produktu je normalne konstanta $1$ lebo ak $k$ je konstanta, tak $k\wedge\alpha=k\alpha$

a skalarny sucin vektorov ineho ranku sa myslim obvykle nedefinuje (hlavny problem by mohol byt aj to, ze su s podpriestorov s inymi dimenziami)

Honza90 · 08. 04. 2013 00:11

↑ Brano:
takže $(e_{1}\wedge 1)=e_{1}$ , když třeba $e_{1} =(1,0)$ tak to pak nebude vnější součin v pravém slova smyslu, když $1$ je skalár.

Brano · 08. 04. 2013 00:22

ale je tak definovany a musi byt aj pre skalary, lebo aj tie patria do tej algebry

Matematické Fórum

#1 07. 04. 2013 00:52 — Editoval Honza90 (07. 04. 2013 01:44)

vnější součin a vnější algebra

#2 07. 04. 2013 02:43 — Editoval Brano (07. 04. 2013 02:45)

Re: vnější součin a vnější algebra

#3 07. 04. 2013 02:50

Re: vnější součin a vnější algebra

#4 07. 04. 2013 03:37 — Editoval Brano (07. 04. 2013 23:33)

Re: vnější součin a vnější algebra

#5 07. 04. 2013 12:45 — Editoval Honza90 (07. 04. 2013 12:55)

Re: vnější součin a vnější algebra

#6 07. 04. 2013 22:50 — Editoval Brano (07. 04. 2013 23:34)

Re: vnější součin a vnější algebra

#7 07. 04. 2013 23:29

Re: vnější součin a vnější algebra

#8 07. 04. 2013 23:32 — Editoval Brano (07. 04. 2013 23:40)

Re: vnější součin a vnější algebra

#9 08. 04. 2013 00:11

Re: vnější součin a vnější algebra

#10 08. 04. 2013 00:22

Re: vnější součin a vnější algebra

Zápatí