Matematické Fórum

cryogenic

dobrý den,
mám body , vektor . Mám určit bod P na přímce AB a na CD bod Q tak, aby vektor ležel na přímce PQ. Chtěl bych se zeptat, jestli jsem to pochopil správně a můžu to řešit následovně. Vektorů se směrem, který určuje vektor w je nekonečně mnoho. Proto tedy stačí zvolit jeden libovolný bod na jedné z přímek. Sestavím param. rovnici přímky, která bude bude procházet tímto bodem, a dopočítám druhý bod na druhé přímce. Řešení teda může byt nekonečně mnoho podle toho jak si zvolím ten bod?

Rumburak · 08. 04. 2013 17:20

↑ cryogenic:
Zdravím. Pokud by přímky $AB, CD$ spolu s vektorem $w$ byly komplanární (=ležely by v nějaké společné rovině),
potom by takto postupovat bylo možné.

Obecněji postupujeme takto: označíme

(1) $\vec{p}:= B-A$ (směrový vektor přímky AB) , $\vec{q}:= D-C$ (směrový vektor přímky CD) ,

takže podle paramatrického vyjádření těchto přímek bude

(2) $P = A + t\vec{p}$ , $Q = C + s\vec{q}$ pro neznámé hodnoty $t, s \in \mathbb{R}$ .

Další podmínkou je, aby body P, Q byly různé (o to by se mělo postarat zadání úlohy) a přímka PQ rovnoběžná s vektorem $\vec{w}$ .
Odtud máme třetí rovnici $r(P - Q) = \vec{w}$ - s neznámou $r \in \mathbb{R}$ . Za body P, Q dosadíme z (2), za vektory $\vec{p}, \vec{q}$ z (1).
Získáme tak vektorovou rovnici s neznámými $t, s, r$ , kterou rozepíšeme po souřadnicích a dostaneme tak soustavu třech rovnic
v oboru reálných čísel.

cryogenic · 08. 04. 2013 18:33

Děkuji, vychází to přesně podle výsledků. Ještě mám dotaz ohledně přímek. Lze nějak rychle ověřit, zda leží v jedné rovině, aniž bych řešil vzájmenou polohu(kontrola jestli jsou rovnoběžné>jestli mají průnik)?

Rumburak · 10. 04. 2013 09:19

↑ cryogenic:
Když mají stejné směrové vektory (resp. jeden je násobkem druhého), pak jsou přímky rovnoběžné a jsou-li navíc různé,
pak je jimi určena rovina, ktará je obsahuje. Ale nic dalšího mne k tomu nenapadá.

Matematické Fórum

#1 08. 04. 2013 15:48 — Editoval cryogenic (08. 04. 2013 15:48)

analytická geom. v prostoru

#2 08. 04. 2013 17:20

Re: analytická geom. v prostoru

#3 08. 04. 2013 18:33

Re: analytická geom. v prostoru

#4 10. 04. 2013 09:19

Re: analytická geom. v prostoru

Zápatí