Matematické Fórum

snazim se na to stale prijit; prochazel jsem i jine zodpovezene dotazy ohledne relaci, ale pripada mi ze se spis do toho zamotavam nez aby mi to pomohlo mohl by mi nekdo nastinit reseni? Nejake vzorecky cokoliv co by mi mohlo pomoci jsem z toho uplne jalovy.
Diky moc H.

dekuji mnohokrat za odpoved; to Acko mi je ted myslim jasne; jeste bych se chtel zeptat k tomu B: nemel bych si spis urcit kolik jich reflexivnich je a tento pocet odecist od celkoveho poctu symetrických rlací (ne antisymetrických)?
H.

Kondr napsal(a):

Uvažujte kolik máme možností pro každou dvojici uspořádaných dvojic (x,y), (y,x), x≠y a pro každou uspořádanou dvojici (x,x).

Tak nastíním a): pro každou z dvojic uspořádaných dvojic (x,y), (y,x), x≠y máme 3 možnosti: v relaci není ani jedna, v relaci je první, v reaci je druhá.
Takových dvojic dvojic je n(n-1)/2.
Pro každou dvojici (x,x) máme jen 2 možnosti: buď tam je, nebo není. Takových dvojic je n.
Vždy můžeme 1 z 2 (resp 3) možností vybrat nezávisle, dle pravidla součinu máme
možností.

K b) snad jen dodám, že je lepší říct, kolik symetrických relací JE reflexivních a to pak odečíst od celkového počtu symetrických.

a nemely by byt nahodou 4 moznosti pro ty dvojice  (x,y), (y,x), x≠y? Jakoze ty 3, co mas ty + v relaci jsou obe? A nemelo by se pak u te dvojice (x,x) brat v potaz 2^n - 1 moznosti? Odecist 1 moznost, kdy v relaci neni zadna dvojice (x,x), protoze aby byla relace antisymetricka, minimalne 1 dvojice (x,x) tam musi byt ne?

Tedy ze vysledny pocet moznosti antisymetrickych relaci je: 4^[n*(n-1)/2] * (2^n - 1)  ?? nebo se pletu?

Nech? A je n prvková množina.

Nemůžu si pomoci, ale přijde mi, že to zadání by chtělo doplnit: Nech? A je LIBOVOLNA n prvková množina. Pokud by množina byla zadaná "pevně", pak by ten úkol byl přece o něčem úplně jiném, ne?

už vím, co jsem špatně pochopil..

Saturday napsal(a):

nešlo by to b) nějak takhle: (?)

Nějak takhle jo, ale je tam zrada -- "není reflexivní" neznamená, že "je ireflexivní".
Aby nebyla relace reflexivní, stačí, když pro jedno x nebude obsahovat dvojici (x,x).
Aby byla ir., nesmí takovou dvojici obsahovat pro žádné x.

Zase musíme rozlišit ty dva typy dvojic. Pro typ x<>y máme jak správně uvádíš 2^(n nad 2) možoností.
Pak musíme rozebrat dvojice, v nichž x=y.
Pokud  bychom brali všechny symetrické relace, měli bychom pro ně 2^n možností. Jedna z těchto možností (ta, kdy do relace dáme všechny dvojice splňující x=y) vede na reflexivní relaci, zbylé na nereflexivní (míněno jako opak slova reflexivní, nikoliv jako ireflexivní).

Celkem máme možností.

b) A kolik různých symetrických relací, které nejsou reflexivní, na A existuje?

Neni to nahodou (2^n) - n ? ... (2^n) je pocet symetrickych relaci a n je pocet reflexivn9ch relaci prece ... kdyz mam treba A = {1,2,3} , tak v matici to bude diagonala a to jsou prvky (1,1) , (2,2) , (3,3) ne prece ?

Proč není n počet reflexivnich relaci??

Pokud mám nožinu s 1 prvkem {1}, pak je jedina reflexivni relace {(1,1)}

Pokud mám nožinu s 2 prvkky {1,2}, pak jsou  reflexivni relace {(1,1)} ,  {(2,2)}   ??

A nebo zde jde o to že v případě 2 prvků je relace tyto?:  {(1,1) ; (2,2)} ; {(1,1)} ; {(2,2)}   čili už zde jsou relace 3.

Asi jsem si odpověděl sám, že? :-D Ale byl bych rád kdyby někdo potvrdil co píšu. Předem díky

A ještě k začátku, něco mi tu nesedí.

Pro každou z dvojic uspořádaných dvojic (x,y), (y,x), x≠y máme 3 možnosti: v relaci není ani jedna, v relaci je první, v reaci je druhá.

Takových dvojic dvojic je n(n-1)/2.

Pokud jde o dvojici uspořádáných dvojic (x,y),(y,x), x≠y, nemůže přece tohle platit. Protože pokud bude v relaci jen první, nebo jen druhá dvojice, nejde pak o relaci. Nemám pravdu? Pokud je prvni dvojice v symetrické relaci a druhá ne a jde o jejich vzájemne uspořádání, nemůže pak jít o symetrickou relaci, protože aby o ni šlo musí splňovat podmínky symetričnosti obě dvojice, ne jen jedna.

pro příklad 2 prvku. {1,2}

{(2,2);(1,1)} reflexivní relace ( oba prvky tam jsou )
{(2,2);(1,2)} není reflexivní, i když první dvojice je v relaci
{(2,1);(1,1)} není reflexivní, i když druhá dvojice je v relaci
{(2,1);(1,2)} není reflexivní, ani jedna není v této relaci. Pokud se nepletu, je to relace symetrická a ireflexivní.

Čili bych tomu dal né 3, ale 4 možnosti. Jsou v relaci oba. Není v relaci první, není v relaci druhy, není v relaci ani jeden.

Omlouvám se všem znalejším, nechci je tímto svým tvrzením nikterak urazit, jen to vidím takhle. Prosím o to aby mne někdo opravil. Předem díky

Prosím, než sem začnete něco psát, přečtěte si definice pojmů, se kterými se zde pracuje a následně si přečtěte i příspěvky v tomto tématu.

@pokemon80:

Kondr napsal(a):

Pro každou z dvojic uspořádaných dvojic (x,y), (y,x), x≠y máme 3 možnosti: v relaci není ani jedna, v relaci je první, v reaci je druhá.

Tato věta se vztahovala k antisymetickým relacím. Pro obecnou relaci jsou ty mořnosti 4, pro symetrickou 2.

Co se týče počtu reflexivních relací na dvouprvkové množině, ty jsou 4:
{(1,1),(2,2)}
{(1,1),(2,2),(1,2)}
{(1,1),(2,2),(2,1)}
{(1,1),(2,2),(1,2),(2,1)}

Kondr napsal(a):

Celkem máme možností.

Opravdu je tohe počet symetrických nereflexivních relací? Uvažujme pro jednoduchost 2-prvkovou množinu A = { 1 , 2 }

Pak je jisté, že na dané množině existuje právě 8 symetrických relací, a sice:

1. {  }
2. { (1,1) }
3. { (2,2) }
4, { (1,1) , (2,2) }
5. { (1,2) , (2,1) }
6. { (1,1) , (1,2) , (2,1) }
7. { (2,2) , (1,2) , (2,1) }
8. { (1,1) , (2,2) , (1,2) , (2,1) }

Z těchto symetrických relací jsou reflexivní relace č. 2,3,4 a 8. Což je dohromady 4 reflexivní relace. A podle toho vzorce by to mělo být 8- hodnota vzorce = 8 - 6 = 2.
Tak co je spravně?

Tak teda nevím,písemné zdroje ze kterých čerpám se rozcházejí, jeden tvrdí že je jich tady reflexivních 2, jiný zase 4

@Alexei: reflexivní jsou jen 4 a 8

@pokemon80: Dvě čísla nad sebou v záborkách BEZ zlomkové čáry najsou zlomek, ale kombinační číslo , po dosazení
. Proto ne odmocnina ze dvou, ale 2^0*1=1, což sedí.