Matematické Fórum

sleepmen · 19. 04. 2013 12:17

Dobrý den prosím o pomoc s tímto příkladem:
Sestavte kvadratickou rovnici s reálnými koeficienty, jejíž jeden kořen je komplexní číslo x1:
$x_{1}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Cheop · 19. 04. 2013 12:31 — Editoval Cheop (19. 04. 2013 14:50)

↑ sleepmen:
$x^2-x+1=0$
Já to počítal takto:
Máme kvadratickou rovnici:
$ax^2+by+c=0\\x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Z kořenu $x_1=\frac{1+\sqrt 3\,i}{2}$ vidíme. že:
$a=1\\b=-1$
A pro diskriminant musí platit:
$b^2-4ac=-3\\1-4c=-3\\4c=4\\c=1$
Máme rovnici:
$x^2-x+1=0$

sleepmen · 19. 04. 2013 12:33

Potřeboval bych ale postup řešení prosím

Honzc · 19. 04. 2013 12:35 — Editoval Honzc (19. 04. 2013 12:50)

↑ sleepmen:
Je potřeba si uvědomit, že má-li kv.r. (s raálnými koeficienty) jeden kořen komplexní, pak druhý musí být s ním komplexně sdružený.
Tedy jenom roznásobíš $(x-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)(x-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=0$
Mělo by ti vyjít

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

sleepmen · 19. 04. 2013 12:37

Děkuji

vanok · 19. 04. 2013 13:06

↑ Honzc:
Pozdravujem.
Maly doplnok.
Ked realny polynom ma jeden komplexny koren $z$ tak aj komplexne cislo $\bar{z}$ je koren daneho polynomu.

sleepmen · 19. 04. 2013 13:11

Ďakujem

Rumburak

↑ Honzc:, ↑ sleepmen:

Zdravím, kolegové.
Mám jen terminologickou poznámku :

Větu

má-li kv.r. (s raálnými koeficienty) jeden kořen komplexní, pak druhý musí být s ním komplexně sdružený.

bych opravil na

má-li kv.r. (s raálnými koeficienty) jeden kořen imaginární, pak druhý musí být s ním komplexně sdružený.

Důvod:

rovněž reálné číslo je komplexním číslem, takže také reálný kořen je komplexním kořenem, pro nějž ale první verse věty obecně neplatí
(platila by pouze v případě, že by šlo o kořen dvojnásobný).

martisek · 19. 04. 2013 16:13

↑ Rumburak:

Jenže zrovna kořen $x_{1}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ není imaginární - imaginární číslo je komplexní číslo, které má reálnou složku nulovou.

Věta

" Ked realny polynom ma jeden komplexny koren $z$ tak aj komplexne cislo $\bar{z}$ je koren daneho polynomu."

od ↑ vanok: je zcela vpořádku, protože nemluví o žádněm "druhém kořenu" - Má-li reálný polynom jeden komplexní kořen (tedy třeba i z=3), pak i $\bar{z}$ je kořenem - to je zcela vpořádku, protože $\bar{z}=3$ a to je rovněž kořenem (v tomto případě tímtéž). A platí to, ať je ta trojka jednoduchá, dvojnásobná, anebo třeba pětinásobná.

Danusa · 19. 04. 2013 16:59

Dobrý den, potřebovala bych pomoci s tímto příkladem :
$\frac{2-i}{-1+3i}$ .Vím, že musím rozšířit zlomek -1-3i a po úpravě dostanu tvar $\frac{\sqrt{2} \cdot (\cos\frac{7}{4}\pi + i \cdot \sin \frac{7}{4}\pi )}{2}$

Z celého příkladu mám vytvořit goniometrický tvar. Je to všechno nebo musím ještě nějak pokračovat? Děkuji

martisek · 19. 04. 2013 17:01

↑ Danusa:

Ahoj,

je to všechno - ale příště si založ vlastní téma.

Rumburak

↑ martisek:

1)

Jenže zrovna kořen $x_{1}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ není imaginární - imaginární číslo je komplexní číslo, které má reálnou složku nulovou.

Problém bude v tom, že mně tu terminologii učili jinak, a sice takto:

Komplexní číslo $a + b \, \mathrm{i} , a, b \in \mathbb{R}$ , je

- reálné, pokud $b = 0$ ,
- imaginární, pokud $b \ne 0$ ,
- ryze imaginární , pokud $a = 0$ .

Spaciálně tedy $0$ by byla reálné číslo, zároveň ryze imaginární číslo, nikoli však imaginární číslo, což mně přišlo divné už tehdy
a donutilo mne to si přečíst tehdejší definice pozorněji.

Ale o problému nuancí v definicích jsme už jednou diskutovali - je potřeba si ujasnit, jak je kdo zná.

2)
K "větě" kolegy Vanka žádné připomínky ani doplňky též nemám.

martisek · 19. 04. 2013 17:46

↑ Rumburak:

Já tedy pojem imaginární číslo prakticky nepoužívám. Ale v Gaussově rovině se běžně používá reálná osa a imaginární osa. A dá se říct: číslo je reálné právě tehdy, když jeho obraz leží na reálné ose. Zdá se mi logické, že by totéž mělo platit i pro čísla imaginární. Ale je to opravdu záležitost definice.

Rumburak

↑ martisek:

Ano, souhlasím, že toto pojetí svoji logiku má.

Fyzikové pořádají kongresy, na nichž stanovují základní fyzikální veličiny a jejich jednotky, zatímco v matematice je v tomto ohledu
více svobody (alespoň se domnívám), což je většinou k jejímu prospěchu, ale má to i své nevýhody.

Matematické Fórum

#1 19. 04. 2013 12:17

Komplexní čísla

#2 19. 04. 2013 12:31 — Editoval Cheop (19. 04. 2013 14:50)

Re: Komplexní čísla

#3 19. 04. 2013 12:33

Re: Komplexní čísla

#4 19. 04. 2013 12:35 — Editoval Honzc (19. 04. 2013 12:50)

Re: Komplexní čísla

#5 19. 04. 2013 12:37

Re: Komplexní čísla

#6 19. 04. 2013 13:06

Re: Komplexní čísla

#7 19. 04. 2013 13:11

Re: Komplexní čísla

#8 19. 04. 2013 16:02 — Editoval Rumburak (19. 04. 2013 16:03)

Re: Komplexní čísla

#9 19. 04. 2013 16:13

Re: Komplexní čísla

#10 19. 04. 2013 16:59

Re: Komplexní čísla

#11 19. 04. 2013 17:01

Re: Komplexní čísla

#12 19. 04. 2013 17:35 — Editoval Rumburak (19. 04. 2013 17:44)

Re: Komplexní čísla

#13 19. 04. 2013 17:46

Re: Komplexní čísla

#14 20. 04. 2013 11:48 — Editoval Rumburak (20. 04. 2013 11:49)

Re: Komplexní čísla

Zápatí