Matematické Fórum

liamlim

Zdravím všechny. Dnes jsem se ve škole zabýval nějakými obrázky, ve kterých jsem si procvičoval komplexní čísla na určování úhlů. No, mimo jiné jsem dokázal odvodit například rovnost:

$\arctan 1 + \arctan \frac{1}{2} = \arctan 3$

To, že jsem tuto rovnost poté zobecnil pomocí dvou obdélníků které jsem umístil do gaussovy roviny ani psát nechci, protože mi tam stejně vycházejí špatně znaménka a nevím proč.

Ale k tomu, na co se ptám... Podle čtverců, které jsem vedle sebe umiťoval do Gaussovy roviny se mi asi podařilo dokázat, že platí:

$\sum_{i=1}^{n}\arctan\left( \frac{1}{i}\right)=\arctan\left( \frac{\Im(z)}{\Re(z)}\right)$ kde
$z=\prod_{i=1}^n(i+\text{i})$

A tady mám docela problém... mohl by mi někdo poradit jak bych mohl spočítat $z$ ? za odpověď bych byl moc rád. Díky.

Říkal jsem si, že by bylo pěkné vědět, jestli ten součet na levé straně diverguje, nebo konverguje, a jestli konverguje, tak možná se trochu přiblížit té hodnotě.

Kondr · 26. 04. 2013 00:48

$z=\prod_{i=1}^n(i+\text{i})=(n+1)!$ , tedy reálné číslo. Pokud by i byla komplexní jednotka a ne index, tak je součin prostě mocnina. Zkus to opravit.

liamlim

↑ Kondr:

asi jsem to špatně označil, proto raději rozepíši trochu důkladněji to, co sem tím zápisem myslel. Ten tvar jsem i trochu upravil, aby nehrozilo v první rovnosti dělení nulou jestliže je reálná část rovna nule. správně má být:

$\sum_{k=1}^{n}\arctan\left(\frac{1}{k}\right)=\arg((\text{i}+1)(\text{i}+2)(\text{i}+3)\cdots(\text{i}+n))$

což lze podle mě zapsat (asi jsem předtím index nevhodně pojmenoval $i$ protože se pletl s imaginární jednotkou) takto:

$\sum_{k=1}^{n}\arctan\left(\frac{1}{k}\right)=\arg\left(\prod_{l=1}^n(\text{i}+l)\right)$

Myslím si, že součet $(n+1)!$ bych odstal pro $\sum_{k=1}^n(n+1)$ , ale já jsem index označil $i$ a imaginární jednotku $\text{i}$ , tady byl asi problém

postup, jakým jsem k té rovnosti přišel: