Matematické Fórum

drabi · 05. 05. 2013 17:52

Ahoj,
potřebovala bych pomoct s tímto příkladem:

Buď $T \leq S$ rozšíření těles a $a \in S$ . Vyjádřete polynom $m_{a^{-1},T}$
pomocí koeficientů polynomu $m_{a,T}$ .

Nevím moc, jak na to jít. Zkoušela jsem to na pár příkladech a vidím tam nějaké shodné znaky, ale nevím, jak to odvodit obecně.

příklad 1
$\alpha = \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}}\\ m_{\alpha,\mathbb{Q}} = x^3 + 3x -2\\ m_{\alpha^{-1},\mathbb{Q}} = x^3 - \frac{3}{2}x^2 -\frac{1}{2}$

příklad 2
$m_{1-i,\mathbb{Q}} = x^2 -2x + 2\\ m_{\frac{1+i}{2},\mathbb{Q}} = x^2 -x +\frac{1}{2}$

Jde vidět, že poslední člen je inverzní a potom mám pocit, že poslední člen vydělí ostatní, ale u příkladu 1 se prohazují členy.. Nevíte někdo prosím, jak na to?

jarrro · 05. 05. 2013 18:26

stačí reverznúť poradie koeficientov vyplýva to z predpokladu nenulovosti koreňov potom sa dá rovnica krátiť číslom
$x^n$ z toho to už priamo vidno

drabi · 05. 05. 2013 18:38

↑ jarrro:
Ahoj, díky za reakci. Už to vidím, akorát si nejsem jistá, zda je úplně zřejmé, že se jedná o minimální polynom toho inverzního prvku, jestli bys mi mohl ukázat, jak to z toho plyne? Díky

OiBobik

↑ drabi:

Čau,

pozorování 1: $T(a)=T(a^{-1})$ . Spec. tedy ty minimální polynomy mají stejný stupeň (Zkus to nahlédnout/dokázat).
Tedy stačí zkrátka najít nějaký polynom, jehož kořenem je $a^{-1}$ a je stupně stejného, jako $m_{a,T}$ .

Takže označme $m_{a,T}=x^n+\sum_{i=0}^{n-1}c_ix^i$ (búno jej bereme monický).

Máme tedy

$a^n+\sum_{i=0}^{n-1}c_ia^i=0$

Zkus to upravit do tvaru, kde vystupují koeficienty $c_i$ a výrazy $a^{-1}$ .

Edit: Vidím, že píšu pozdě, ale nechám to už tady (částečně to odpovídá na druhý dotaz).

drabi · 05. 05. 2013 18:47

↑ OiBobik:
jasně, už to vidím. Děkuju mockrát :)

Matematické Fórum

#1 05. 05. 2013 17:52

minimální polynom inverzního prvku

#2 05. 05. 2013 18:26

Re: minimální polynom inverzního prvku

#3 05. 05. 2013 18:38

Re: minimální polynom inverzního prvku

#4 05. 05. 2013 18:46 — Editoval OiBobik (05. 05. 2013 18:47)

Re: minimální polynom inverzního prvku

#5 05. 05. 2013 18:47

Re: minimální polynom inverzního prvku

Zápatí