Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 05. 2013 17:52

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

minimální polynom inverzního prvku

Ahoj,
potřebovala bych pomoct s tímto příkladem:

Buď $T \leq S$ rozšíření těles a $a \in S$ . Vyjádřete polynom $m_{a^{-1},T}$
pomocí koeficientů polynomu $m_{a,T}$.

Nevím moc, jak na to jít. Zkoušela jsem to na pár příkladech a vidím tam nějaké shodné znaky, ale nevím, jak to odvodit obecně.

příklad 1
$\alpha = \sqrt[3]{1 + \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{2}}}\\

m_{\alpha,\mathbb{Q}} = x^3 + 3x -2\\
m_{\alpha^{-1},\mathbb{Q}} = x^3 - \frac{3}{2}x^2 -\frac{1}{2}$

příklad 2
$m_{1-i,\mathbb{Q}} = x^2 -2x + 2\\
m_{\frac{1+i}{2},\mathbb{Q}} = x^2 -x +\frac{1}{2}$


Jde vidět, že poslední člen je inverzní a potom mám pocit, že poslední člen vydělí ostatní, ale u příkladu 1 se prohazují členy.. Nevíte někdo prosím, jak na to?

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) drabi)

#2 05. 05. 2013 18:26

jarrro
Příspěvky: 5471
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: minimální polynom inverzního prvku

stačí reverznúť poradie koeficientov vyplýva to z predpokladu nenulovosti koreňov potom sa dá rovnica krátiť číslom
$x^n$ z toho to už priamo vidno


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 05. 05. 2013 18:38

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: minimální polynom inverzního prvku

↑ jarrro:
Ahoj, díky za reakci. Už to vidím, akorát si nejsem jistá, zda je úplně zřejmé, že se jedná o minimální polynom toho inverzního prvku, jestli bys mi mohl ukázat, jak to z toho plyne? Díky

Offline

 

#4 05. 05. 2013 18:46 — Editoval OiBobik (05. 05. 2013 18:47)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: minimální polynom inverzního prvku

↑ drabi:

Čau,

pozorování 1: $T(a)=T(a^{-1})$. Spec. tedy ty minimální polynomy mají stejný stupeň (Zkus to nahlédnout/dokázat).
Tedy stačí zkrátka najít nějaký polynom, jehož kořenem je $a^{-1}$ a je stupně stejného, jako $m_{a,T}$.

Takže označme $m_{a,T}=x^n+\sum_{i=0}^{n-1}c_ix^i$ (búno jej bereme monický).

Máme tedy

$a^n+\sum_{i=0}^{n-1}c_ia^i=0$


Zkus to upravit do tvaru, kde vystupují koeficienty $c_i$ a výrazy $a^{-1}$.

Edit: Vidím, že píšu pozdě, ale nechám to už tady (částečně to odpovídá na druhý dotaz).


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#5 05. 05. 2013 18:47

drabi
Místo: Praha
Příspěvky: 433
Škola: MFF UK
Pozice: student
Reputace:   
 

Re: minimální polynom inverzního prvku

↑ OiBobik:
jasně, už to vidím. Děkuju mockrát :)

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson