Matematické Fórum

Coko · 23. 05. 2013 12:16

Dobrý den,

dá mi zabrat jeden integrál -> $\int_{0}^{\infty } sin (2x) \cdot e^{-x} dx$
Když jsem zkusila poslední možnost Wolfram, tak ten to přepsal jako podíl, ale pak nechápu kde přišel na vzorec a ani ho podle Wolframu neumím použít -> $\int_{}^{}exp(\alpha x)\cdot sin(\beta x)dx=\frac{exp (\alpha x)\cdot (\alpha sin(\beta x)-\beta cos(\beta x)}{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}$
Z toho vyšlo -> $-\frac{sin (2x)+2cos(2x)}{5e^{x}}+c$
Neexistuje nějaký jiný vzorec? Tento jsem vážně ještě neviděla. A vlastně si s tím příkladem nevím rady.

jarrro · 23. 05. 2013 12:34 — Editoval jarrro (23. 05. 2013 12:39)

$\exp{$\alpha x$}\sin{$\beta x$}=\mathrm{im}{$\exp{\(\alpha x+\mathrm{i}\beta x$}\)}$
teda daný integrál je imaginárna časť integrálu
$\int{\mathrm{e}^{$\alpha+\mathrm{i}\beta$x}\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{e}^{$\alpha+\mathrm{i}\beta$x}}{\alpha+\mathrm{i}\beta}=\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}$\alpha-\mathrm{i}\beta$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\beta x}}{\alpha^2+\beta^2}=\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}$\alpha-\mathrm{i}\beta$$\cos{\(\beta x$}+\mathrm{i}\sin{$\beta x$}\)}{\alpha^2+\beta^2}$
bez komplexnej analýzy sa to dá napríklad dvakrát per partes, ale použitím "wolfrámového" triku sa na jeden šup dajú vypočítať integrály
$\int{\sin{$\beta x$}\mathrm{e}^{\alpha x}\mathrm{d}x}\nl\int{\cos{$\beta x$}\mathrm{e}^{\alpha x}\mathrm{d}x}$
pomerne mechanickým postupom

Coko · 23. 05. 2013 14:26

↑ jarrro:
Nemohl byste to, prosím, ukázat na tom příkladu? Takto mi to stále nic neříká, já bych potřebovala vidět co dosazovat a tak dále.

jarrro · 23. 05. 2013 15:05

↑ Coko:čo ukázať veď je to už vyriešené
$\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}$\alpha-\mathrm{i}\beta$$\cos{\(\beta x$}+\mathrm{i}\sin{$\beta x$}\)}{\alpha^2+\beta^2}=\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}$\alpha\cos{\(\beta x$}+\mathrm{i}\alpha\sin{$\beta x$}-\mathrm{i}\beta\cos{$\beta x$}+\beta\sin{$\beta x$}\)}{\alpha^2+\beta^2}=\nl =\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}$\alpha\cos{\(\beta x$}+\beta\sin{$\beta x$}\)}{\alpha^2+\beta^2}+\mathrm{i}\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}$\alpha\sin{\(\beta x$}-\beta\cos{$\beta x$}\)}{\alpha^2+\beta^2}$
teda $\int{\sin{$\beta x$}\mathrm{e}^{\alpha x}\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{e}^{\alpha x}$\alpha\sin{\(\beta x$}-\beta\cos{$\beta x$}\)}{\alpha^2+\beta^2}$
v tvojom prípade je $\alpha=-1\nl \beta=2$

Coko · 23. 05. 2013 16:43

↑ jarrro:
Jsem z toho úplně v lese. Raději teda zvolím tu druhou metodu.

Rumburak

↑ Coko:
Ahoj.
Pokud jste komplexní funkce komplexní proměnné neprobírali, pak je jistě lepší zvolit nějakou elementárnější metodu.
Použití metody, která se vymyká probrané látce a neuměla jsi ji zdůvodnit, by Ti u zkoušky možná ani nemuselo projít,
i kdyby bylo správné.

Coko · 23. 05. 2013 17:19

↑ Rumburak:
Něco na tom bude. Každopádně moje problémy nekončí. Zvolila jsem metodu Per partes
$u=sin(2x), u´=2cos(2x)$ a za $v´=e^{-x}, v=-e^{-x}$ . V části použitého vzorce mi výjde
$\int_{0}^{\infty } 2cos(2x)\cdot e^{-x}$ , což ale míří na další Per partes. S takovou bych to mohla dělat do nekonečna. Dělám tento postup správně?

Rumburak · 23. 05. 2013 17:31

Donekonečna perpartesit není potřeba, stačí dvakrát, ale stále stejným směrem (někdo zvolí opačný směr a pak se diví,
že dostal zpátky na začátek). Měla bys po druhém provedení p. p. dosatat

(1) $\int_{0}^{\infty } sin (2x) \cdot e^{-x} dx = ... = f(x) + A \int_{0}^{\infty } sin (2x) \cdot e^{-x} dx$ ,

kde $f$ je funkce neobsahující znak integrálu a $A$ konstanta různá od 1, takže budeš mít lineární rovnici, v níž hledaný integrál
bude figurovat jako neznámá.

Coko · 23. 05. 2013 17:47 — Editoval Coko (23. 05. 2013 17:48)

↑ Rumburak:
Můj postup po druhém užití PP vychází $-sin(2x)\cdot e^{-x}-2cos(2x)\cdot e^{-x}+4\int_{0}^{\infty }sin(2x)\cdot (-e^{-x})$ , ale to zase směřuje na další PP..

jarrro · 23. 05. 2013 18:31

↑ Coko:nesmeruje dá sa vyjadriť ten integrál ako neznáma z rovnice o tom píše ↑ Rumburak:

Coko · 23. 05. 2013 19:07

↑ jarrro:
Už jsem to vyřešila, teď se potrápím s limitou :D Ale díky.

Matematické Fórum

#1 23. 05. 2013 12:16

Nevlastní integrál

#2 23. 05. 2013 12:34 — Editoval jarrro (23. 05. 2013 12:39)

Re: Nevlastní integrál

#3 23. 05. 2013 14:26

Re: Nevlastní integrál

#4 23. 05. 2013 15:05

Re: Nevlastní integrál

#5 23. 05. 2013 16:43

Re: Nevlastní integrál

#6 23. 05. 2013 16:52 — Editoval Rumburak (23. 05. 2013 16:57)

Re: Nevlastní integrál

#7 23. 05. 2013 17:19

Re: Nevlastní integrál

#8 23. 05. 2013 17:31

Re: Nevlastní integrál

#9 23. 05. 2013 17:47 — Editoval Coko (23. 05. 2013 17:48)

Re: Nevlastní integrál

#10 23. 05. 2013 18:31

Re: Nevlastní integrál

#11 23. 05. 2013 19:07

Re: Nevlastní integrál

Zápatí