Matematické Fórum

cyrano52 · 29. 05. 2013 18:21

Dobrý den, chtěl bych se zeptat, jakými způsoby se dá zjistit, zda v daném stacionárním bodě je lok. extrém, když je hessián roven nule. Mám tento příklad:

$z=x^4+y^4$

$z'_{x}=4x^3$
$z'_{y}=4y^3$

Vyšel stacionární bod $A[0;0;0]$ .

$z''_{xx}=12x^2$
$z''_{xy}=0$
$z''_{yy}=12y^2$

Hesseho matice je tedy ve tvaru:

| 0 0 |
| 0 0 |

Takže vychází nula. Díky za rady. :)

Jj · 29. 05. 2013 19:09

↑ cyrano52:

Podobný případ se řešil tady:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?pid=290129#p290129

smajdalf · 30. 05. 2013 12:38

↑ cyrano52:
V podstatě v tuhle chvíli, kdy tě zradí Hessián a derivace, ti zbývá jediná možnost, a to využít přímo definici extrému, tzn. "ošahat" ten stacionární bod ze všech stran a zjistit, jak se daná funkce v jeho okolí chová,
tedy využít přírůstky:

$(\Delta z)_A = z(x_A + \overline{h_1} ; y_A + \overline{h_2}) - z(x_A ; y_A)$

kde $x_A, y_A$ jsou souřadnice bodu A, $h_1, h_2$ jsou právě ony přírůstky.
Jednoduše tedy dosadíš souřadnice

$(\Delta z)_A = z(0 + \overline{h_1} ; 0 + \overline{h_2}) - z(0 ; 0) = [(0 + \overline{h_1})^4 + (0 + \overline{h_2})^4] - [0^4 + 0^4] = \overline{h_1}^4 + \overline{h_2}^4$

A tenhle výraz ti určuje chování funkce z v okolí A. Jelikož je tento výraz vždy kladný,
nehledě na to jestli za $\overline{h_1}, \overline{h_2}$ dosadíš kladnou nebo zápornou hodnotu. Tedy:

$\forall (\overline{h_1}, \overline{h_2}) \neq 0 \>;(\Delta z)_A = \overline{h_1}^4 + \overline{h_2}^4 > 0$

To znamená, že od bodu A=[0;0] ve všech směrech funkční hodnota roste ( $(\Delta z)_A > 0$ ).
Proto v bodě A leží ostré lokální minimum.

Matematické Fórum

#1 29. 05. 2013 18:21

Lokální extrém funkce dvou proměnných

#2 29. 05. 2013 19:09

Re: Lokální extrém funkce dvou proměnných

#3 30. 05. 2013 12:38

Re: Lokální extrém funkce dvou proměnných

Zápatí