Matematické Fórum

Pavel Brožek · 01. 06. 2013 16:11

Ahoj, mám problém z komplexní analýzy.

Mám funkci f definovanou pro $x>0$ jako

$f(x)=\int_0^{\infty}\frac{t^2}{t^2+x^2}g^2(t)\,\d t,$

kde $g(t)$ je „hezká funkce“ (holomorfní na $\mathbb{C}$ až na konečnou množinu bodů, kde má funkce póly, můžeme určitě předpokládat, že póly nejsou na kladné reálné poloose a že na kladné reálné poloose nabývá funkce reálných hodnot) taková, že

$\int_0^{\infty}t^2g^2(t)\,\d t<\infty.$

Dá se nějak ukázat, že f se dá analyticky prodloužit do $\mathbb{C}$ ?

Funkce g by mohla být např.

$g(t)=\frac{t^l}{(t^2+a^2)^{\frac{l+k}{2}}},$

kde $k, l$ jsou nezáporná celá čísla, $k\ge2$ a $a>0$ .

Dál by mě pak zajímalo, kdy bude n-tá derivace f v nule nulová. Snažím se totiž dokázat, že pro funkci g, která se v okolí nuly chová jako $t^l$ se v Taylorově rozvoji f nebudou vyskytovat členy s lichou mocninou do řádu $2l-1$ včetně.

(Předpoklady pro funkci g nejsou striktní, klidně uvažujte mírně pozměněné, ale určitě by jim měl vyhovovat uvedený příklad funkce g.)

Pavel Brožek · 02. 06. 2013 19:08

$f(x)&=\int_0^{\infty}\frac{t^2}{t^2+x^2}g^2(t)\,\d t=\\ &=\int_0^{\infty}\frac{t^2+x^2-x^2}{t^2+x^2}g^2(t)\,\d t=\\ &=\int_0^{\infty}$g^2(t)-\frac{x^2}{t^2+x^2}g^2(t)$\,\d t=\\ &=\int_0^{\infty}g^2(t)\,\d t-\int_0^{\infty}\frac{x^2}{t^2+x^2}g^2(t)\,\d t\\$

V druhém integrálu provedu substituci $t=xs$ .

$f(x)&=\int_0^{\infty}g^2(t)\,\d t-x\int_0^{\infty}\frac{1}{1+s^2}g^2(xs)\,\d s$

Z toho je zřejmé, že v rozvoji $f(x)=\sum_{i=0}^{\infty}a_i x^i$ je

$a_0=\int_0^{\infty}g^2(t)\,\d t$

a

$a_1=-\int_0^{\infty}\frac{1}{1+s^2}g^2(0)\,\d s=-\frac\pi2g^2(0).$

Ale co další členy rozvoje? Půjdou nějak jednoduše určit?

Matematické Fórum

#1 01. 06. 2013 16:11

Analytičnost a derivace funkce definované integrálem

#2 02. 06. 2013 19:08

Re: Analytičnost a derivace funkce definované integrálem

Zápatí