Matematické Fórum

83357 · 09. 06. 2013 20:38

zdar,

Byl by někdo tak hodný a poradil mi jak spočítat tyhle dvě diferenciální rovnice i s postupem? Vůbec nevím jak se to řeší a proč.

$y'' + 4y' + 4y = 4x^{2} + 8x + 6$

a
$y' - \frac{1}{x}.y = x^{3}$

Za případné rady moc děkuju.

bismarck

$y' - \frac{1}{x}y = x^{3}\\ y' - \frac{y}{x} = x^{3}$

Táto rovnica je homogénna DR
subs.:
$u(x)=\frac{y}{x}\\y=ux\\y'=u'x+u$

$u'x+u-u=x^{3}\\ u'x=x^{3}\\ u'=x^{2}\\ du=x^{2}dx\\ \int_{}^{}du=\int_{}^{}x^{2}dx\\ u=\frac{x^{3}}{3}+c$

$\frac{y}{x}=\frac{x^{3}}{3}+c\\ y=\frac{x^{4}}{3}+cx$

cyrano52

↑ bismarck:

1. rovnice je lineární dif. rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty a se speciální pravou stranou ve tvaru $e^{\alpha x}*Q_{s}(x)$ . Řeší se následovně:

Řešením této rovnice je součet tzv. obecného řešení zkr. nebo-li homogenní rovnice a odhadu některého partikulárního řešení dif. rovnice.

Nejprve je třeba si ji přepsat na homogenní rovnici (tedy rovnici s nulovou pravou stranou):

$y'' + 4y' + 4y = 0$

Nyní vytvoříme tzv. charakteristickou rovnici, kde jakoby "substituujeme" y za "k" a řád derivace za mocninu, tedy druhý řád --> druhá mocnina:

$k^{2}+4k^{1}+4k^{0}=0$

Spočítáme kořeny této kvadratické rovnice a sestavíme tzv. fundamentální systém řešení, který je složen ze dvou funkcí:

-pokud je diskriminant char. rovnice vetší než nula, tzn. máme 2 řešení, tak:

$e^{k_{1}x}$ a $e^{k_{2}x}$ , kde $k_{1,2}$ jsou kořeny char. rovnice.

-pokud je D=0:

$e^{k_{0}x}$ a $e^{k_{0}x}\cdot x$ , kde $k_{0}$ je dvojnásobný kořen.

-pokud je D<0, máme tvar komplexního čísla ve tvaru $a_{1}\pm a_{2}\cdot i$ :

$e^{a_{1}x}\cdot \cos (a_{2}\cdot x)$ a $e^{a_{1}x}\cdot \sin (a_{2}\cdot x)$

V našem případě máme D=0, tzn. máme dvojnásobný kořen $k_{0}=-2$ .

FSŘ: $e^{-2x}$ a $e^{-2x}x$

Obecné řešení té zkrácené (či homogenní) dif. rovnice je rovno lineární kombinaci daných funkcí, tzn.:

ypsilon se stříškou (nevím, jak to zde napsat :-)) = $C_{1}\cdot e^{-2x}+C_{2}\cdot e^{-2x}\cdot x$

Dalším krokem je výpočet onoho odhadu některého partikulárního řešení dif. rovnice, které je obecně ve tvaru:

ypsilon s rovnou stříškou :-) = $x^{r}\cdot e^{\alpha x}\cdot R_{s}(x)$ , kde r je násobnost kořene charakteristické rovnice jako čísla alfa v exponentu na pravé straně, $e^{\alpha x}$ je identické s tou částí na pravé straně a "s" je stupeň mnohočlenu R.

V našem případě je r=0 (protože alfa = 0, což není kořen char. rovnice), s=2 a dále $e^{0\cdot x}=1$ . Zapíšeme: $x^{0}\cdot 1\cdot (Ax^{2}+Bx+C)$

Naším úkolem je zjistit hodnoty koeficientů A, B a C, což provedeme dosazením do původní rovnice. Abychom tak mohli učinit, je třeba nejprve spočítat 1. a 2. derivaci (z toho důvodu, že se v dif. rovnici vyskytují).:

$y^{'}=2Ax+B$
$y^{''}=2A$

Dosazení:
$2A+4\cdot (2Ax+B)+4\cdot (Ax^{2}+Bx+C)=4x^{2}+8x+6$

Použijeme metodu neurčitých koeficientů, tzn. poměřujeme koeficienty u stejných mocnin:

pro $x^{2}$ : $4A=4$
$A=1$

pro $x^{1}$ : $8A+4B=8$
$B=0$

pro $x^{0}$ : $2A+4B+4C=6$
$C=1$

Tím odhadem je tedy: $x^{2}+1$

Obecné řešení diferenciální rovnice je tedy ve tvaru:

$y=C_{1}\cdot e^{-2x}+C_{2}\cdot e^{-2x}\cdot x+x^{2}+1$

A je hotovo, doufám, že pomohlo trošku. :)