Matematické Fórum

Sherlock

Ahoj, nikde jsem se nedohledal postupu jak číselně zjistit W(x) (Lambertova W funkce).

Z Wikipedie moc moudrý nejsem, našel jsem tam například Taylorovu řadu:

$http://upload.wikimedia.org/math/5/5/1/55185bdf3010f3768d42951638b72850.png$

Které ale ani nerozumím, protože nevím co symbolizuje na nula $W_{0}$ .

Jak tedy zjistit funkční hodnotu té funkce např. v bodě 6 ?

Brzls · 13. 06. 2013 17:31

↑ Aktivní:
Ahoj
Podle toho, jak jsem pochopil definici této funkce, tak bych řekl zhruba toto.
Taylorův rozvoj je v bodě šest k ničemu, nebot řada konverguje jen na intervalu -1/e,1/e.
Ta funkce je navíc definovaná i pro komplexní čísla, tedy v libovolném bodě teoreticky nabývá více hodnot (je mnohoznačná)- ta nula tedy značí jenom tu část funkce, která lze považovat za funkci v normálním smyslu.

Jelikož je funkce definovaná jako $z=W(z)*e^{W(z)}$
tak hodnotu v libovolném bodě můžeme získat libovolnou numerickou metodou (přesné číslo analyticky nenajdem)
Tedy necht y je hodnota funkce v bodě 6. pak je třeba řešit rovnici $6=ye^{6}$

Sherlock

Aha.

Stejně mi pak není jasné k čemu řešení ve tvaru $t=\frac{-W(\frac{-2}{\ln 5})}{\ln 2}$ může být užitečné, když má od číselného vyjádření tak hodně daleko.

Jestli to dobře chápu, při hledání kořenů například rovnice $2^{t}=5t$ je nejefektivnější metoda např. metoda tečen a né metoda skrze Lambertovu W funkci. Je to tak?

Brzls · 15. 06. 2013 17:30

Tak pokud jde o hledání číselného výsledku tak ano.
Takovéto výsledky se podle mě uplatňují ve výpočetní technice (některé programy třeba umějí tuto funkce vyčíslit) a nebo třeba při nějakých úpravách výrazů. Každopádně při hledání číselného výsledku (když prostě počítáš jen s kalkulačkou a papírem) tak je podle mě metoda tečen lepší.

Další využití jak koukám je, že tato funkce je řešením některých diferenciálních rovnic - dostávám hezčí zápis, než kdybych tuto funkci nepoužil.

jarrro · 15. 06. 2013 21:06 — Editoval jarrro (15. 06. 2013 21:15)

Aktivní napsal(a):
k čemu řešení ve tvaru $t=\frac{-W(\frac{-\color{red}\ln{\color{black}2}}{5})}{\ln 2}$

k tomu že je úplne presné pričom numerická metóda dá len približné riešenie hoci aj na milión miest, ale stále len približné

Cenobita · 28. 12. 2023 19:15

↑ Sherlock:

2^t = 5t
1/5 = t*2^(-t)
e^ln(2)=2
-1/5*ln(2) = -t*ln(2) * e^(-t*ln(2))
W(-1/5*ln(2)) = W(-t*ln(2) * e^(-t*ln(2)))
W(-1/5*ln(2)) = -t*ln(2)
t = -W(-1/5*ln(2))/ln(2)
t = -productlog(-1/5*log(2))/log(2) = 0.2354557100710055297910789920279545099338639544667685177035489804
===

Zkouška: Wolframalpha.com
2^t = 2^0.2354557100710055297910789920279545099338639544667685177035489804 = 1.1772785503550276489553949601397725496693197723338425885177449022
5t = 5*0.2354557100710055297910789920279545099338639544667685177035489804 = 1.177278550355027648955394960139772549669319772333842588517744902; OK

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2013 17:15 — Editoval Aktivní (13. 06. 2013 17:16)

Lambertova W funkce

#2 13. 06. 2013 17:31

Re: Lambertova W funkce

#3 15. 06. 2013 15:03 — Editoval Aktivní (15. 06. 2013 15:06)

Re: Lambertova W funkce

#4 15. 06. 2013 17:30

Re: Lambertova W funkce

#5 15. 06. 2013 21:06 — Editoval jarrro (15. 06. 2013 21:15)

Re: Lambertova W funkce

Aktivní napsal(a):

#6 28. 12. 2023 19:15

Re: Lambertova W funkce

Zápatí