Matematické Fórum

chipák · 15. 06. 2013 09:36

Zdravím,

zajímalo by mě, jestli jde nějak definovat regularita matice, jejíž prvky jsou z celých čísel modulo p (p je prvočíslo). Intuitivně si říkám, že by tam mělo všechno fungovat pěkně stejně jako v reálných číslech. Mohlo by to být tím, že vektory $(a_1, \ldots, a_n)$ , kde $a_i\in \mathbb{Z}_p$ tvoří vektoroý prostor (tohle jsem si ověřoval a všechny axiomy vektorového prostoru splěny).

Takže můj dotaz zní, jestli lze definovat regulární matici nad $\mathbb{Z}_p$ , popřípadě jak se regularita taková matice zjišťuje (determinant?).

Kdybyste někdo věděl o odkazu na literaturu zabývající se touto tématikou, byl bych za něj moc vděčný.

martisek · 15. 06. 2013 09:43

↑ chipák:

Ahoj,

uspořádané n-tice $(a_1, \ldots, a_n)$ , kde $a_i\in \mathbb{Z}_p$ netvoří vektorový prostor, nad žádným tělesem, protože není definováno násobení skalárem. např. $0,1\cdot (a_1, \ldots, a_n)\not \in \mathbb{Z}_p^n$

chipák · 15. 06. 2013 09:48

↑ martisek:

no počkat, já mám za to, že vektorový prostor nad tělesem T znamená to, že beru právě ty skaláry z tělesa T a pokud bych já uvažoval těleso $\mathbb{Z}_p$ , tak tam žádný takový problém nevidím.

martisek · 15. 06. 2013 10:13

↑ chipák:

Přiznám se, že mi nedošlo, že $\mathbb{Z}_p$ může být těleso (ale jen v případě, že p je prvočíslo). V tom případě nevidím s maticemi ani s determinanty žádný problém - sečítání a násobení probíhá modulo p, odčítání jako přičítání opačného prvku, dělení jako násobení inverzním prvkem.

chipák · 15. 06. 2013 10:30

↑ martisek:

Jsem stejného názoru, jen mi nepřijde úplně zřejmé, že řádky nějaké čtvercové matice A s prvky ze $\mathbb{Z}_p$ jsou navzájem lineárně nezávislé právě tehdy, když det(A)=0(mod p). To nedokážu dokázat.

martisek · 15. 06. 2013 10:40

↑ chipák:

Mělo by to jít tak, že se v "klasickém důkazu" pro reálné matice jenom mechanicky nahradí příslušné operace.

chipák · 15. 06. 2013 14:26

↑ martisek:

Děkuju, myslím, že jsem to už vymyslel. Šel jsem na to tím způsobem, že matici $A$ lze ekvivalentními řádkovými úpravami převést na $B$ v diagonálním tvaru. Jestliže $\text{det}(A)\neq 0$ , pak také $\text{det}(B)\neq 0$ . Takže matice $B$ nemá na diagonále ani jeden nulový prvek. Zřejmě řádky $B$ jsou navzájem lineárně nezávislé a protože $A \sim B$ , řádky matice $A$ jsou také navzájem lineárně nezávislé.