Matematické Fórum

Ahoj,
derivace nemusí existovat, vem si funkci y=|x| v bodě x=0 (tam je hrot, a tedy derivace neexistuje),
Dále v krajních bodech definičního oboru apod... protože derivace je vlastností okolí a pokud bodu chybí okolí, tak funkci v tomto bodě chybí i derivace.

↑ Freedy:

Weierstrassova funkce

↑ Freedy:

Ahoj.

Svým příspěvkem se dotýkáš už hlubších otázek, které se na střední škole obvykle neprobírají.

1.   Derivace funkce je speciálním případem limity a jak víme z definice limity, zápis

(1)                                     

pro pevně zvolenou funkci a číslo je pouhou zkratkou výroku poměrně složitého,  který sice může být splnitelný
nejvýše pro jedno , jak praví věta o jednoznačnosti limity, ale nemusí být splněn pro žádné (a pak tudíž
limita v (1) neexiatuje).

Funkce, kterou doporučuje kolega ↑ martisek:

Vezmi si funkci, jejíž funkční hodnota v každém racionálním x je nula a v každém iracionálním x je jedna.

je příkladem funkce, která nemá derivaci v žádném bodě a rovněž v žádném bodě není spojitá, ale jiné příklady,
které Ti kogové nabídli, dokládají, že ani spojitost funkce není pro existenci derivace postačující.


2. Rovněž s inegrací funkcí (mám na mysli hledání primitivní funkce) je problém. Platí věta, že funkce spojitá na
otevřeném intervalu má na něm primitivní funkci, ale ne každá funkce je spojitá, abychom na ni mohli tuto větu
použít.
Platí také věta: Funkce, která je na nějakém intervalu derivací (jiné) funkce, má na něm tzv. Darbouxovu vlastnost
(stručně řečeno: pro libovolný interval je opět  interval).  Výše citovaná funkce  Darbouxovu
vlastnost zjevně nemá,  proto primitivní funkce k ní  nemůže existovat.