Matematické Fórum

Andrew123 · 16. 07. 2013 11:41

Zdravim,
mel bych dotaz na zpusob rucniho vypoctu autokorelace. Jedna se o oblast odhadu klasického lineárního regresního modelu, napr. $Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+u_i$ . Dle jednoho z Gauss-Markovovych předpokladu musi platit $E\{uu^T\}=\sigma^2I_n$ , kde $u$ je sloupcovy vektor obsahujici $n$ hodnot nepozorovatelne nahodne slozky modelu a $u^T$ je radkovy vektor techto hodnot.

Kovariancni matice nahodnych slozek by tedy mela byt rovna $K=E\{uu^T\}$ = $\left( \begin{array}{cccc@{\ }r} \sigma^2 & 0 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \sigma^2 & 0 & ... & 0 \\ 0 & 0 & \sigma^2 & ... & 0 \\ ... & ... & ... &...&...\\ 0 & 0 & 0 & ...& \sigma^2 \\ \end{array} \right)=\sigma^2I_n$ .

Obecne vsak vyjde matice jako $K=\left( \begin{array}{cccc@{\ }r} k_{11} & k_{12} & k_{13} & ... & k_{1n} \\ k_{21} & k_{22} & k_{23} & ... & k_{2n} \\ k_{31} & k_{32} & k_{33} & ... & k_{3n} \\ ... & ... & ... &...&...\\ k_{n1} & k_{n2} & k_{n3} & ... & k_{nn} \\ \end{array} \right)$ .

Protoze me zajima autokorelace 1. radu, tak jednotlive prvky kovariancni matice spocitam podle definice $cov(u_i,u_{i-1})=E(u_i*u_{i-1})-E(u_i)*E(u_{i-1})$ .

A prave zde narazim na problem a nevim, jak dal. $u_i$ a $u_{i-1}$ nejsou vektory jako u "bezne kovariance dvou nahodnych velicin L a M"(tu umim spocitat), ale konkretni realna cisla. Stredni hodnota $E\{u_i\}$ je (podle mne) vlastne stredni hodnota z jednoho konkretniho cisla, tedy $E\{u_i\} =u_{i}$ , podobne $E\{u_{i-1}\} =u_{i-1}$ . Vyraz $E$u_i*u_{i-1}$$ nevim jak spocitat vubec, protoze podle definice kovariance nahodnych velicin L a M plati $E(L*M)=\sum_{l_i}\sum_{m_j}l_jm_jp(l_i,m_j)$ s prislusnymi vyznamy. Pro muj pripad nevim, co mam za jednotlive promenne zde dosadit, kdyz zadne pravdepodobnosti vlastne nemam k dispozici.

Ma otazka tedy je, jak rucne spocitam matici $E\{uu^T\}$ , pokud mi bude zadany konkretni vektor $u$ , napr. $u^T=(0.5, -0.25, 1)$ ? Pokud neco o autokorelaci vygoooglim, tak se to temer vzdy resi v nejakem softwarovem produktu, ktery uz "vyhodi" nejaky vysledek, podle ktereho se pak uz jen rozhoduje, zda je autokorelace pritomna nebo ne. Nejde mi o to, jak se zjistuje pritomnost autokorelace, ale zajima me konkretni numericky postup vypoctu te matice $E\{uu^T\}$ v pripade zadani vektoru $u$ .

V zadne ucebnici statistiky jsem nenasel jediny reseny priklad na autokorelaci, tak nevim, jak na to. Nevi nekdo mimochodem o nejakem zdroji s resenymi priklady (i anglickem)? Diky