Matematické Fórum

kryštof · 19. 07. 2013 20:33

Ahoj, potřeboval bych pomoct s nalezením minima téhle funkce $f(x)=k\cdot \sqrt{\frac{1}{\cos ^{2}x\cdot (d\text{tg}x-h)}}$ na intervalu $(arctg\frac{12}{125},\frac{\pi }{2})$ , k,h,d jsou kladné reálné konstanty. Je to součást složitějšího problému, předem dík za rady.

Hanis · 19. 07. 2013 20:40

Ahoj,

stačí maximalizovat jmenovatele.

kryštof · 19. 07. 2013 21:10

↑ Hanis:
Jasně, a jak na to?

Hanis · 19. 07. 2013 21:30

Je to hledání extrémů na uzavřeném intervalu, tj. najít stac. body uvnitř tohoto intervalu pomocí první derivace a určit jejich fční hodnotu, dále fční hodnoty v krajních bodech.
Obávám se, že výsledná rovnice nebude algebraicky řešitelná, tedy bude třeba použít mat. software nebo nějakou numerickou metodu.

kryštof · 19. 07. 2013 21:49

↑ Hanis:
Takže první derivace "fce ve jmenovateli" mi vyšla $d\cos 2x+h\sin 2x$ .

Hanis · 19. 07. 2013 21:49 — Editoval Hanis (19. 07. 2013 22:26)

Tak jsem to zderivoval, položil rovno nule a stacionární bod mi vychází:

$d\cdot \cos 2x =-h\cdot \sin 2x$
$\text{pro } \cos 2x\neq 0\wedge h\neq 0$
$\tan 2x=-\frac{d}{h}$
$x=-\frac{\arctan \frac{d}{h}}{2}$

Ale ještě to zkontroluj, je pátek večer a wolfram se tváří jinak, ikdyž to možná jenom maskuje :-)

Je třeba ale zjistit funkční hodnotu pro tento bod a tak funkční hodnoty v krajních bodech a provádět diskuzi vzhledem k parametrům a počátečním podmínkám...

EDIT: začal jsem to psát dříve, máš to zderivováno dobře.

kryštof · 19. 07. 2013 21:56

↑ Hanis:
Dobře, jak dál?

kryštof

↑ Hanis:
Když jsem položil tu derivaci rovnou nule, vyšlo mi $x=\frac{1}{2}arctg(-\frac{d}{h})=-\frac{1}{2}arctg(\frac{d}{h})$ jako tobě, mám teď tedy bod, ve kterém ta původní funkce f(x) dosahuje minima?

Hanis · 19. 07. 2013 22:12

No, tady jsem zaseklý, podívám se na to zítra, je docela problém, že hledáme glob. extrém na otevřeném intervalu funkce, která je závislá na dvou parametrech.

Extrém bude nastávat buď v bodě -arctan(d/h)/2 nebo pokud se budeme blížit do krajních bodů definičního oboru - ty ale do definičního oboru nepatří, takže nedostaneme žádný konkrétní bod, leda tak limitu.

Hanis · 19. 07. 2013 22:18

Spočítejme
$I.~~\lim_{x \to \frac{12}{125}}k\cdot \sqrt{\frac{1}{\cos ^{2}x\cdot (d\cdot\text{tg}x-h)}}$
$II.~~k\cdot \sqrt{\frac{1}{\cos ^{2}$-\frac{\arctan \frac{d}{h}}{2}$\cdot $d\cdot\text{tg}\(-\frac{\arctan \frac{d}{h}}{2}$-h\)}}$

$III.~~\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}k\cdot \sqrt{\frac{1}{\cos ^{2}x\cdot (d\cdot\text{tg}x-h)}}$

A s tím prostředním výpočtem bude asi docela problém... Je to samozžejmě za podmínky, že x leží v zadaném intervlau.

kryštof

↑ Hanis:
Hele: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d}x }(\cos ^{2}x\cdot (d\text{tg}x-h))=d\cos 2x+h\sin 2x$ , položí se
$d\cos 2x+h\sin 2x=0$
$d\cos 2x=-h\sin 2x$ , platí-li tohle, pak cos2x je různý od nuly, takže vydělíme cos2x
$d=-h\text{tg} 2x$
$\text{tg} 2x=-\frac{d}{h}$ , ze vzorce $\text{tg}(\alpha \pm \beta )=\frac{\text{tg}\alpha \pm \text{tg}\beta }{1\mp \text{tg}\alpha \text{tg}\beta }$ je
$\frac{2\text{tg}x}{1-\text{tg}^{2}x}=-\frac{d}{h}$ (podmínka x je různe od pi:4) a dostanem rovnici
$\frac{d}{h}\text{tg}^2x-2\text{tg}x-\frac{d}{h}=0$ ta má kořeny
$\text{tg}x=\frac{1\pm \sqrt{1+\frac{d}{h}}}{\frac{d}{h}}$ a z nich v intervalu $(arctg\frac{12}{125},\frac{\pi }{2})$ leží jenom $\text{tg}x=\frac{1+ \sqrt{1+\frac{d}{h}}}{\frac{d}{h}}=\frac{h+\sqrt{h^2+d^2}}{d}$ (h,d jsou kladná čísla). Takže minimum funkce f(x) je $\frac{h+\sqrt{h^2+d^2}}{d}$ . Co myslíš o tomhle postupu? Já teď jdu spát.

Hanis · 20. 07. 2013 10:30

Ahoj,

tak ten postup je dobře až po kořeny.

Pak je třeba zinverznit pomocí arctg.

Ale větší problém vidím v tom, že tvrdíš, že $\text{tg}x=\frac{1+ \sqrt{1+\frac{d}{h}}}{\frac{d}{h}}=\frac{h+\sqrt{h^2+d^2}}{d}\Rightarrow x=\arctan \frac{h+\sqrt{h^2+d^2}}{d}$ leží v daném intervalu.

Menší než pi/2 je to triviálně, protože arctg(x) je vždy menší než pi/2.

Horší je to ale s levým krajním bodem. Musí platit $\frac{21}{125}<\frac{h+\sqrt{h^2+d^2}}{d}$

To ale víme, že máme extrém. Pro určení, zda-je max nebo min bude třeba určit druhou derivaci a určit její znaménko.

Btw: co je to za problém, kterým se zabýváš?

kryštof · 25. 07. 2013 15:13

↑ Hanis:
Jde o fyzikální problém- máš zasáhnout cíl ve výšce h a vzdálenosti d při minimální počáteční rychlosti, ale na netu jsem už našel prakticky totéž i s řešením http://fyzikalniolympiada.cz/archiv/54/fo54b1_r.pdf, ale díky za pomoc.

Matematické Fórum

#1 19. 07. 2013 20:33

minimum funkce

#2 19. 07. 2013 20:40

Re: minimum funkce

#3 19. 07. 2013 21:10

Re: minimum funkce

#4 19. 07. 2013 21:30

Re: minimum funkce

#5 19. 07. 2013 21:49

Re: minimum funkce

#6 19. 07. 2013 21:49 — Editoval Hanis (19. 07. 2013 22:26)

Re: minimum funkce

#7 19. 07. 2013 21:56

Re: minimum funkce

#8 19. 07. 2013 22:06 — Editoval kryštof (19. 07. 2013 22:08)

Re: minimum funkce

#9 19. 07. 2013 22:12

Re: minimum funkce

#10 19. 07. 2013 22:18

Re: minimum funkce

#11 20. 07. 2013 00:41 — Editoval kryštof (20. 07. 2013 00:45)

Re: minimum funkce

#12 20. 07. 2013 10:30

Re: minimum funkce

#13 25. 07. 2013 15:13

Re: minimum funkce

Zápatí