Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 05. 09. 2013 14:40

simcilka
Příspěvky: 184
Reputace:   
 

součet řady

Ahoj, pomaham kamaradce a ja jsem ve škole nikdy nebrala součet řady, tak ani nevim jak ji mam vysvětlit tuhle řadu.
$\sum_{n=3}^{\infty}\ln(1-\frac{4}{n^{2}})$

nasla jsem si vzorec $\ln(1-x)=-(x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\ldots)$ dosadila jsem ale dale vuebc nevim co s tim, nevim jestli to muzu takhle zasubstitovat, nebo jak:(

dosadila jsem si do prvnich par clenui a vyslo mi že součet řady pujde k zapornýmu čislu, které bude větší než -1. Můžete mi to prosim nekdo vyvetlit jak mam postupovat?

Offline

 

#2 05. 09. 2013 15:39 — Editoval jarrro (05. 09. 2013 15:40)

jarrro
Příspěvky: 5457
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: součet řady

platí
$\ln{\(1-\frac{4}{n^2}\)}=\ln{\(\frac{n^2-4}{n^2}\)}=\ln{\(n-2\)}-2\ln{\(n\)}+\ln{\(n+2\)}$
súčet nekonečného radu je limita postupnosti jeho čiastočných súčtov podďme ten čiastočný súčet zistiť
$s_m=\sum_{n=3}^{m}{\(\ln{\(n-2\)}-2\ln{\(n\)}+\ln{\(n+2\)}\)}$
označme $k:=\sum_{n=5}^{m-2}{\(\ln{\(n\)}\)}$
pretože uvažujeme konečné súčty, je
$s_m=\ln{\(1\)}+\ln{\(2\)}+\ln{\(3\)}+\ln{\(4\)}+k-2\(\ln{\(3\)}+\ln{\(4\)}+\ln{\(m-1\)}+\ln{\(m\)}+k\)+\nl +k+\ln{\(m-1\)}+\ln{\(m\)}+\ln{\(m+1\)}+\ln{\(m+2\)}=\nl =\ln{\(2\)}-\ln{\(3\)}-\ln{\(4\)}-\ln{\(m-1\)}-\ln{\(m\)}+\ln{\(m+1\)}+\ln{\(m+2\)}=-\ln{\(6\)}+\ln{\(\frac{\(m+1\)\(m+2\)}{m\(m-1\)}\)}$
argument posledného logaritmu ide k jednej teda celý logaritmus ide k nule nekonečný súčet je teda $-\ln{\(6\)}$


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#3 05. 09. 2013 15:40 — Editoval Rumburak (05. 09. 2013 15:55)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: součet řady

↑ simcilka:

Ahoj.   Zkusme ten součet řady určit "z definice".  Označme

  $S_m = \sum_{n=3}^{m}\ln\(1-\frac{4}{n^{2}}\)$

tedy pro dostatečně velká $m$ bude

$S_m :=\ln \prod_{n=3}^{m}\(1-\frac{4}{n^{2}}\) = \ln \prod_{n=3}^{m}\frac{(n+2)(n-2)}{n^{2}} =\ln \(\prod_{n=3}^{m}\frac{n+2}{n}\prod_{n=3}^{m}\frac{n-2}{n}\) =\\=\ln\(\frac{5}{3}\,\frac{6}{4} ... \frac{m+2}{m}\cdot \frac{1}{3}\,\frac{2}{4} ... \frac{m-2}{m}\) = \ln \(\frac {(m+1)(m+2)}{3\cdot 4}\cdot \frac {1\cdot 2}{(m-1)m}\) $ ,

odtud už není těžké zjistit, že $\lim_{m \to \infty}S_m  = - \ln 6$.

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson