Matematické Fórum

chipák · 06. 09. 2013 11:13

Ahoj, mojím cílem je dokázat, že $\| E(I-\frac{ss^T}{s^Ts})\|^2_F=\|E\|^2_F-\frac{\|Es\|^2_2}{s^Ts}$ , kde $s$ je nenulový vektor z $\mathbb{R}^n$ a $E\in\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n$ .

Zkoušel jsem si nějak rozepsat obě strany a dostal jsem se k tomu, že
$\| E(I-\frac{ss^T}{s^Ts})\|^2_F=\sum_{k,l}(e_{kl}-\frac{1}{\sum_j s_j^2}\sum_ie_{ki}s_is_k)^2$
a
$\|E\|^2_F-\frac{\|Es\|^2_2}{s^Ts}=\sum_{k,l}|e_{kl}|^2-\frac{1}{\sum_j s_j^2}\sum_j|\sum_i e_{ji}s_i|^2$ .

Vůbec netuším jestli na to jdu správně, jestli jsem někde neudělal chybu a jak ty výrazy upravit tak aby se rovnaly. Díky za každou radu.

Andrejka3 · 06. 09. 2013 18:00

Ahoj,
asi Ti neporadím, ale ráda bych se zeptala na některé věci.
Ve výrazu $\| E(I-\frac{ss^T}{s^Ts})\|^2_F$ nechápu tuhle část: $I-\frac{ss^{\intercal}}{s^{\intercal}s}$ . Zaprvé mi přijde, že je to matice minus číslo. Když je $s$ nenulový vektor z $\mathbb{R}^n$ , pak je pravda, že
$ss^{\intercal}=s^{\intercal}s=\sum s_i^2$ , nebo to chápu špatně?
Ta norma na druhou je definována jako
$\|E\|^2= \sum_{i,j}|e_{ij}|^2$ - součet kvadrátů všech elementů matice?
Odkud ten příklad pochází?
Díky.

Stýv · 06. 09. 2013 18:06

↑ chipák: takle po prvcích se z toho posereš. využij ekvivalentní definici $\|A\|^2=\operatorname{tr}A'A$ a možnost cyklicky zaměňovat argumenty stopy (tj. $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$ )

↑ Andrejka3: když $s$ je sloupcovej vektor, tak $s's$ je číslo, zatímco $ss'$ je matice

chipák · 06. 09. 2013 19:27

↑ Andrejka3:

Frobeniova norma je definovaná přesně jak si napsala. Příklad je z této knihy.

↑ Stýv:

Díky za radu. Myslím, že jsem s tím pohnul. Akorát mi zbývá dokázat, že $tr(E^Tss^TE)=\|Es\|^2_2$ . Je to tak, že frobeniova maticová norma a dvojková vektorová norma jsou ekvivalentní?

Stýv · 06. 09. 2013 19:38

↑ chipák: slovo "ekvivalentní" má v kontextu norem specifickej význam, takže bych ho nepoužíval. ale pokud se ptáš, jestli frobeniova norma vektoru coby matice s jedním sloupcem je rovna jeho eukleidovský normě, tak to samozřejmě je

Matematické Fórum

#1 06. 09. 2013 11:13

Rovnost s normami matic

#2 06. 09. 2013 18:00

Re: Rovnost s normami matic

#3 06. 09. 2013 18:06

Re: Rovnost s normami matic

#4 06. 09. 2013 19:27

Re: Rovnost s normami matic

#5 06. 09. 2013 19:38

Re: Rovnost s normami matic

Zápatí