Matematické Fórum

Terka18

Ahoj, psali jsem test na fce a měla bych dotaz na “formální zápis postupu“:

V testu jsme měli např. $y=\sqrt{\frac{x^2-3x}{x^2-7x+12}}$ Určete Df.

Správný postup: $\frac{x^2-3x}{(x-3)(x-4)}\ge0$ =>číselná osa=>na ní vyznačit body 0,3,4=> $Df=(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$

Nechápu, proč to vyučující těm, kteří napsali následující, škrtl a počítal, že to mají celé špatně:

$x^2-7x+12>0$
$(x-3)(x-4)>0$

$x^2-3x\ge0$
$x^2\ge3x$
$x\ge3$

=>číselná osa=> $Df=(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$

Není tam sice rozepsané, jak se došlo k nulovému bodu a že pro záporná čísla a nulu také platí $\ge0$ (ale to ani v 1. řešení a musí to studentům “docvaknout“). Nebo je to tím, že tam nějak neměli napsané něco jako “a zároveň platí podmínka“? Zajímalo by mě, v čem je po formální stránce problém (ale vůči těm, kteří to rozepsali 2. způsobem mi to stejně přijde trochu nespravedlivý)

Díky

gadgetka

Jedná se o nerovnici, musíš vzít v potaz jmenovatele i čitatele, což jsi udělala (už to vidím), ale dělila jsi "iksem" a nevzala jsi v potaz podmínku, že x v tom případě musí být různé od nuly a vyřadila jsi tak jeden kořen z řešení...

A jelikož jsi udělala zásadní chybu při řešení nerovnice, učitelka nemohla jednat jinak...

gadgetka

$\frac{x^2-3x}{(x-3)(x-4)}\ge0$
$\frac{x(x-3)}{(x-3)(x-4)}\ge0$

Nulové body: 0, 3, 4
Trojka je zde dvojnásobným nulovým bodem.

gadgetka

Správným řešením bude interval $(-\infty,0\rangle\cup (4, +\infty)$ , což jsi měla správně, ale udělala jsi chybu v postupu řešení, proto zřejmě učitelka reagovala tak, jak reagovala... a navíc z tvého postupu není vůbec jasné, kde se ti v intervalu nakonec vzala ta "nula".

Rumburak · 20. 09. 2013 17:23

↑ Terka18:

Ahoj.

Dotyční spolužáci opomněli prošetřit případ

$x^2-7x+12<0 \wedge x^2-3x\le0$ ,

který by také teoreticky mohl vést k nezápornému zlomku, pokud by ho nějaké číslo splňovalo (že ho nakonec
žádné číslo nesplňuje, je sice pravda, ale k tomuto poznatku se mělo nějak dospět).

Lze postupovat i takto:

$\frac{x^2-3x}{x^2-7x+12} \ge 0 , \\ \frac{x(x-3)}{(x-3)(x-4)}\ge 0$ ,

odtud stanovíme první podmínky $x \ne 3 , x \ne 4$ , zlomek vykrátíme výrazem $x-3$ a dostaneme nerovnici

$\frac{x}{x-4}\ge 0$

jednoduššího typu atd.

Terka18 · 21. 09. 2013 15:56

Já jsem měla ten “postup č.1“, jen mě zajímalo, v čem je problém :)

Kdyby tedy 2. nerovnici měli zapsanou jako:

$x^2-3x\ge0$

$x(x-3)\ge0$

měli by to správně?

Stejně mi přijde trochu zákeřný škrtnout kvůli tomu celý příklad :)

Rumburak

↑ Terka18:

Postup

I.
$x^2-3x\ge0$
$x^2\ge3x$
$x\ge3$

by byl postačující, pokud bychom měli předem zaručeno, že $x > 0$ (tento předpoklad byl mlčky využit při dělení nerovnice číslem $x$ ,
po kteréžto operaci se směr znaménka nerovnosti nezměnil) . Že $x > 0$ však zaručeno není, proto musíme prošetřit i další situace.

II. V případě $x < 0$ bychom vydělením nerovnice $x^2\ge3x$ záporným $x$ dostali $x \le 3$ , konjunkce tohoto mezivýsledku
s předpokladem $x < 0$ je $x < 0$ .

III. Prozatím byl vždy vyloučen případ $x = 0$ , ten musíme vyšetřit také. Snadno nahlédneme, že i v tomto případě je nerovnice
$x^2-3x\ge0$ splněna.

Celkové řešení nerovnice $x^2-3x\ge0$ je tedy $x \le 0 \vee x \ge 3$ , neboli $x \in (-\infty, 0 \rangle \cup \langle 3 , +\infty)$ .

I zde dotyční tví spolužáci postupovali velmi povrchně, což paní profesorka zřejmě vyhodnotila jako totální nepochopení problematiky
kvadratických nerovnic.

PS.

Řešit kvadratickou nerovnici přes rozklad polynomu na kořenové činitele je výhodnější.

Terka18

↑ Rumburak:

Jasný, chápu.

Co nechápu :) je, proč když mám u správně spočítaného příkladu podmínku $(x-4)(x-3)>0$ , proč mám “fajfku“ i u ní?(samozřejmě se s tím hlásit nebudu :)
Neměla by podmínka být $x\neq 4$ $x\neq 3$ ? Z (x-4)(x-3) sice záporné číslo nedostanu, ale kdybych měla $(x-5)(x-3)$ , tak už ano.

Rumburak

↑ Terka18:

Teď zase já nechápu :-) obsah tohoto dotazu. Co to znamená, že tam je "fajfka" ? Snad "odsouhlaseno" ?
Nebo naopak "chyba" ?

Můžeš to nějak podat v širším kontextu ?

byk7 · 24. 09. 2013 10:03

↑ Rumburak:
Domnívám se, že fajfkou je myšlena úhlová závorka.

Terka18 · 25. 09. 2013 18:26

“fajfkou“ je myšleno “odsouhlaseno“ :) , což je ale špatně, ne?

Omlouvám se za nejasný popis :)

Taky už chápu, proč ty definiční obory měla v podstatě celá třída špatně - v sešitě mají všichni napsané a spočítané dva podobné příklady následovně (já jsem naštěstí chyběla a učila se to z učebnice):

$y=\sqrt{\frac{x+4}{1-x}}$

u kterého mají řešení

$1-x>0$
$x<1$

$\frac{x+4}{1-x}\ge0$
$x+4\ge0$
$x\ge-4$

=>číselná osa=>

$Df=\langle -4,1)$

a druhý

$y=\sqrt{\frac{x^2-x-2}{x+3}}$

u kterého mají následující řešení:

$\frac{x^2-x-2}{x+3}\ge0$
$x^2-x-2\ge0$
$(x-2)(x+1)\ge0$

$x+3>0$
$x>-3$

=>číselná osa=>

$Df=(-3,1\rangle \cup \langle2,+\infty)$

Což je, co se týče postupu, špatně, ne? (těžko říci, kde v procesu “výklad nového učiva=>testování znalostí studentů“ došlo k chybě :)

Rumburak · 26. 09. 2013 10:54

↑ Terka18:

Ano, i když výsledek je dobře, postup není celý. Například u té první úlohy byla de facto dokázána pouze inkluse

(1) $\langle -4,1) \subseteq D_f$ .

Chybí zde druhý krok, který by (neúspěšným pokusem najít v $D_f$ nějaký bod $x$ splňující $x\ge 1$ ) ukázal,
že inklusi v (1) lze nahradit rovností.

S druhou úlohou je to obdobné.

Matematické Fórum

#1 20. 09. 2013 16:41 — Editoval Terka18 (20. 09. 2013 16:42)

Postup při určování def. oboru fcí

#2 20. 09. 2013 16:43 — Editoval gadgetka (20. 09. 2013 17:12)

Re: Postup při určování def. oboru fcí

#3 20. 09. 2013 16:45 — Editoval gadgetka (20. 09. 2013 16:55)

Re: Postup při určování def. oboru fcí

#4 20. 09. 2013 16:48 — Editoval gadgetka (20. 09. 2013 17:01)

Re: Postup při určování def. oboru fcí

#5 20. 09. 2013 17:23

Re: Postup při určování def. oboru fcí

#6 21. 09. 2013 15:56

Re: Postup při určování def. oboru fcí

#7 23. 09. 2013 09:54 — Editoval Rumburak (23. 09. 2013 10:14)

Re: Postup při určování def. oboru fcí

#8 23. 09. 2013 19:31 — Editoval Terka18 (23. 09. 2013 19:32)

Re: Postup při určování def. oboru fcí

#9 24. 09. 2013 09:44 — Editoval Rumburak (24. 09. 2013 09:47)

Re: Postup při určování def. oboru fcí

#10 24. 09. 2013 10:03

Re: Postup při určování def. oboru fcí

#11 25. 09. 2013 18:26

Re: Postup při určování def. oboru fcí

#12 26. 09. 2013 10:54

Re: Postup při určování def. oboru fcí

Zápatí