Matematické Fórum

pajam · 27. 09. 2013 14:11

Ahoj, potřebovala bych pomoct s lehčím příkladem do funkcionální analýzy. Jeho zadání zní: Ukažte, že $M_{1}=\{\{x_{n}\}\in l^{1}:\Sigma x_{n}=0\}$ je uzavřený v $l^{1}$ .
Vím, že musím pro uzavřenost dokázat, že posloupnost z M1 konverguje k prvku, který je opět v M1, a to podle metriky prostoru l1. Jen nevím, jak to přesně zapsat či dokázat.

Rumburak · 27. 09. 2013 16:22

Ahoj. Využij nerovnost $|\Sigma x_{n}| \le \Sigma |x_{n}|$ .

pajam · 28. 09. 2013 13:10

To pak v úpravě abych došla ke konvergenci k nule nejspíš použiju, ale jde mi to, jestli začít s úpravou $\varrho (x_{n},x)$ , kde bych předpokládala, že x je z M1 a dojít nějak k nule, nebo jestli nejdříve najít limitu libovolné posloupnosti z M1 a až podle toho, co zjistím, že to je za prvek rozhodnout, zda patří do M1 nebo ne. Doufám že je to pochopitelné :)

Stýv · 28. 09. 2013 15:07

pajam napsal(a):
jde mi to, jestli začít s úpravou $\varrho (x_{n},x)$ , kde bych předpokládala, že x je z M1

určitě bych důkaz nějakýho tvrzení nezačínal předpokladem, že to tvrzení platí

Rumburak · 28. 09. 2013 16:19

↑ pajam:

Navážeme na příspěvek ↑ Rumburak:.

Pro $x = (x_n) \in l^1$ označme $f(x) := \Sigma x_{n}$ . Zřejmě platí, že $f$ je lineární forma na prostoru $l^1$ .
Dále

$|f(x)| = |\Sigma x_{n}| \le \Sigma |x_{n}| = ||x||$ ,

odtud plyne, že $f$ je spojitá v bodě $\vec{0} := (0,0, ...) \in l^1$ . Není těžké ukázat, že lin. forma spojitá v jednom bodě
je spojitá v každém bodě. Spojitost lin. formy $f$ bude možno využít k dokončení požadovaného důkazu.

pajam · 05. 10. 2013 14:02

Omlouvám se, ale stále nevidím, jak využiji skutečnost, že pokud $\varrho (x_{n},x) -> 0 \Rightarrow \varrho (f(x_{n}),f(x))->0$ :(
Potřebuji dokázat, že $\varrho (x^{n},x)$ konverguje k nule. Tedy píšu $\varrho (x^{n},x) = \Sigma |x^{n}_{i}-x_{i}|$ a tady by to chtělo asi nějak rozdělit nebo odhadnout, ale nevím jak. Nebo je to uplně špatně a má se postupovat jinak?

Rumburak

↑ pajam:

Dokončím svoji myšlenku.

Zřejmě $f(\vec{0}) = 0$ .
Z nerovnosti $|f(x)| = |\Sigma x_{n}| \le \Sigma |x_{n}| = ||x||$ plyne:

jestliže $x \to \vec{0}$ v $l^1$ , potom $f(x) \to 0$ (v $\mathbb{R}$ ) ,

neboli $f(x) \to f(\vec{0})$ , takže $f$ je spojíté v bodě $\vec{0}$ .

Avšak $f$ je lineární funkcionál (lineární forma) na $l^1$ , proto je (na základě pčedchozího výsledku)
spojitý v každém bodě $u \in l^1$ . Nastiňme důkaz tohoto tvrzení:
Nechť $y \to u$ v $l^1$ . Položme $x = y-u$ , takže $x \to \vec{0}$ . Z již dokázané spojitosti funkcionálu $f$
v bodě $\vec{0}$ máme $f(x) \to f(\vec{0}) = 0$ , tedy (stále předpokládáme $y \to u$ )

$f(y) - f(u) = f(y-u) = f(x) \to 0$ , odtud $f(y) \to f(u)$ ,

čímž je důkaz spojitosti $f$ v bodě $u$ proveden.

Nyní mějme posloupnost $(z^n)$ , jejíž každý člen patří do $M_1$ , a zároveň nechť

(1) $z^n \to w \in l^1$ při $n \to \infty$ .

Jak máme dokázáno, funkcionál $f$ je spojitý v bodě $w$ , proto z (1) plyne

(2) $f(z^n) \to f(w)$ při $n \to \infty$ .

Avšak pro každé přirozené $n$ je $f(z^n) = 0$ (protože $z^n \in M_1$ ) , takže z (2) dále plyne $f(w) =0$ ,
neboli $w \in M_1$ .