Matematické Fórum

CaburCZ · 11. 10. 2013 11:56

Zdravím,
potřeboval bych pomoc s tímto příkladem:
$p(x)=x^{6}+117^{3}-1000$

zjistil jsem, že tento polynom má dva reálné kořeny a to $x_{1}=2$ $x_{2}=-5$
a zbyl mi polynom $x^{4}-3x^{3}+19x^{2}+30+100$
pro který mám možné kořeny $\pm 1 \pm 2 \pm 4 \pm 5 \pm 10 \pm 20 \pm 25 \pm 50 \pm 100$
řekněme, že prvních 8 možností už jsem prozkoušel a zbývá mi tedy už "jen" zbývajích 10 možností, které když vyzkouším, tak zjistím, že polynom už nemá žádné další reálné kořeny. Je možnost si tuto zbytečnou práci nějakým způsobem ušetřit a hned zjišťovat kořeny v $\mathbb{C}$ .

Předem díky za odpoveď.

jelena · 11. 10. 2013 13:16

Zdravím,

zřejmě drobný překlep v zadání (chybí x) $p(x)=x^{6}+117x^{3}-1000$ - je tak? Pravděpodobně jsi pro řešení použil substituci $x^3=a$ (např.) a šlo tedy použit rozklad kvadratického trojčlenu: $p(x)=a^{2}+117a-1000=(a-8)(a+125)$ , potom dle vzorců 2.3 a 2.4 je další rozklad rychlejší. Je to tak vidět? Děkuji.

Jj · 11. 10. 2013 13:43

↑ CaburCZ:

Dobrý den,
řekl bych, že tou "dosazovací" metodou obecně nezjistíte všechny reálné kořeny, ale jen celočíselné.

CaburCZ · 11. 10. 2013 13:49

↑ jelena:
Ano jedná se o překlep. Substituce mě vůbec nenapadla, díky ní si to rozložím na $(x-2)(x^{2}+2x+4)(x+5)(x^{2}-5x+25)$ a už jen dořeším zbývající dvě kvadratické rovnice. Děkuju moc.

CaburCZ · 11. 10. 2013 13:55

↑ Jj: Ano jen celočíselné, ale když u $x^{n}$ je koeficient 1, tak nedostanu jiné než celočíselné nebo se pletu?

Eratosthenes · 11. 10. 2013 14:13

↑ CaburCZ:

Na odhady reálných kořenů polynomů a jejich hodnot existuje spousta vět (lze vygooglovat), které je možné zkombinovat s nějakým kreslítkem grafů funkcí. Např. podle Tillotovy věty jsou všechny reálné kořeny zadaného polynomu v intervalu (-118; 10). Takže když si to nakreslíš:

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-10/93566_POLYNOM.png

zjistíš, že další reálné kořeny už nenajdeš.

Jj · 11. 10. 2013 14:18

↑ CaburCZ:

Myslím, že to tak obecně nebude:

rovnice $_{a^2+117a-1000=0}$ má celočíselné kořeny,
rovnice $_{a^2+117a-999=0}$ ne.

Jinak, jsem často překvapený, co jsem schopen přehlédnout. Substituci, kterou použila kolegyně ↑ jelena:, běžně používám, v tomto případě mne však kupodivu vůbec nenapadla.

Honzc · 11. 10. 2013 14:19

↑ CaburCZ:
Píšeš "Ano jen celočíselné, ale když u $x^{n}$ je koeficient 1, tak nedostanu jiné než celočíselné nebo se pletu?"
To ale není pravda.
Např: rovnice $x^{4}-4=0$ má dva kořeny reálné, ale rozhodně nejsou celočíselné.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

CaburCZ

↑ Eratosthenes:
Páni, určitě si to dohledám, díky za tipy.

↑ Jj:
Máte pravdu, to jen sbírka ze které řeším příklady je napsaná, tak aby vždy vyšel celočíselný kořen (aspoň zatím).

↑ Honzc:
Ano to už jsem zjistil, u polynomu tohoto typu už asi nebude nejvhodnější použít HS, ale třeba Moivrovu větu, nebo jaké řešení je nejlepší?

Eratosthenes

↑ Jj:

===============
rovnice $_{a^2+117a-1000=0}$ má celočíselné kořeny,
rovnice $_{a^2+117a-999=0}$ ne.
===============

Jenže v zadání je řeč o reálných kořenech a ne o celočíselných:

$_{a^6+117a^3-999=0}$

//forum.matweb.cz/upload3/img/2013-10/95751_POL2.png

CaburCZ

↑ Eratosthenes:
Abych to uvedl na pravou míru v zadání je najděte všechny kořeny polynomu p(x).

A jelikož to řeším přes HS, tak kořeny jsou většinou reálné(90% celočíselné,10% racionální) a nebo komplexní.
Ale pro řešení polynomu s kořeny jen v $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ bude lepší použít jinou metodu např. Tilletova věta.

Eratosthenes · 11. 10. 2013 15:13

↑ CaburCZ:

Pozor, Tilletova věta ti kořeny nenajde. Jenom ti určí interval, ve kterém leží všechny reálné kořeny. Takže když si v tomto intervalu polynom nakreslíš, víš, že máš všechny reálné, které se v případě potřeby dají určit numeicky. S kořeny komplexními je bohužel potíž. Honerovo schéma sice funguje i na ně, ale to bys je musel nejdřív uhodnout, a pak HS jen ověřit, že jsou to skutečně kořeny...

CaburCZ · 11. 10. 2013 15:22

↑ Eratosthenes:
Dobrá, jak říkám zkusím si o tom něco dohledat, zatím mi stačí umět využívat HS.

Všem moc děkuju za cenné rady.

Matematické Fórum

#1 11. 10. 2013 11:56

Hornerovo schéma

#2 11. 10. 2013 13:16

Re: Hornerovo schéma

#3 11. 10. 2013 13:43

Re: Hornerovo schéma

#4 11. 10. 2013 13:49

Re: Hornerovo schéma

#5 11. 10. 2013 13:55

Re: Hornerovo schéma

#6 11. 10. 2013 14:13

Re: Hornerovo schéma

#7 11. 10. 2013 14:18

Re: Hornerovo schéma

#8 11. 10. 2013 14:19

Re: Hornerovo schéma

#9 11. 10. 2013 14:26 — Editoval CaburCZ (11. 10. 2013 14:34)

Re: Hornerovo schéma

#10 11. 10. 2013 14:36 — Editoval Eratosthenes (11. 10. 2013 14:49)

Re: Hornerovo schéma

#11 11. 10. 2013 15:03 — Editoval CaburCZ (11. 10. 2013 15:03)

Re: Hornerovo schéma

#12 11. 10. 2013 15:13

Re: Hornerovo schéma

#13 11. 10. 2013 15:22

Re: Hornerovo schéma

Zápatí