Matematické Fórum

cervicek · 12. 10. 2013 13:54

Relace je cyklická , ak aRb a bRa implikuje cRa. Dokažte, že relace je reflexinví a cyklická a z toho vyplývá,že je reflexivní , symetrická a tranzitivní.

Pokud jste někdo někdy toto řešil, tak mi řekněte, jak napsat ten důkaz, že vim, že je splněná reflexe (x,x) patřící do R , tím pádem bych na základě toho mohl říct, že dopadne i (x,z) a zároveň (z,x).

Já jsem z toho jalovej...s důkazy jsem začal nedavno, přiklad kdy jsemměl dokázat že $\mathbb{R}^\circ(\mathbb{N}^\circ \mathbb{Q})=(\mathbb{R}^\circ \mathbb{N})^\circ \mathbb{Q}$
toto je podmnožinou jeden druhého.

Děkuji za radu .

JohnPeca18 · 12. 10. 2013 14:30

Ai tam melo byt Relace je cyklická , ak aRb a bRc implikuje cRa.

Symetrie by mohla byt z toho, ze kdyz aRb, tak i bRb z reflexivity a bRa pak vypliva z cyklicnosti
Tranzitivita pokud aRb a bRc, z cyklicnosti vime ze i cRa. A z jiz dokazane symetrie mame aRc.

cervicek · 12. 10. 2013 15:17

Jo omlouvám se za chybu *cRa.
No nad tím jsem právě přemýšlel, že když platí reflexe , tak z toho vyplívá cRa a zárověn i aRc.
Já mám problém s zapsáním toho důkazu
$\forall x\in \mathbb{R};(x,x)\in \mathbb{R}\Rightarrow (x,y)\in \mathbb{R}\wedge (y,x)\in \mathbb{R}\Rightarrow (x,z)\in \mathbb{R}\wedge (z,x)\in \mathbb{R}$

Mám v tom nepořádek, smažím se říct něco jako, že v případě když je to reflexe , a všechna (x,y) jsou (x,x), tak musí platit jak tranzitivita, tak to že je cyklická.

Dík za odpověd.

JohnPeca18 · 12. 10. 2013 15:31

no popravde, píšeš to dost zmatene. Nejdriv bych si ujasnil pojmy
Nech R je relace nad množinou X pak
R je reflexivni pokud $\forall x\in X, xRx$
R je cyklicka pokud $\forall x,y,z\in X (xRy \wedge yRz)\rightarrow zRx$
R je symetricka pokud $\forall x,y\in X, xRy \rightarrow yRx$
R je transitivni pokud $\forall x,y,z\in X (xRy \wedge yRz)\rightarrow xRz$

Predpokladame, ze R je reflexivni a cyklicka a dokazeme tim, ze je symetricka.
v tom pripade $\forall x,y\in X, xRy \rightarrow yRy \rightarrow$ z reflexivity R
$(xRy \wedge yRy) \rightarrow yRx$ z cyklicnosti R
dokopy $\forall x,y\in X, xRy \rightarrow yRx$
a mas symetriu. podle mne.

cervicek · 13. 10. 2013 16:30

Jo díky moc, toto je pulka příkladu že ? A Abych dokázal, že je jak reflexivni a cyklická a rároveň reflexivni, tanzitivni a symetrická, tak jak je to zadané , tak musím dokázat ještě druhou pulku, že je cyklická že ?

předpoklad , že je reflexivni, transitivní a symetricka .

$\forall x,y\in xRy \Rightarrow yRy\Rightarrow (xRy \wedge yRy)\Rightarrow xRy\Rightarrow \forall x,y\in R,xRy \Rightarrow yRx\Rightarrow (xRy\wedge yRy)\Rightarrow yRx$

JohnPeca18

aha, no tak to sme sa nerozumeli. Ja som myslel, že predpoklad je, že je cyklicka a reflexivna a chcem dokazat symetriu a tranzitivitu. Mohol by si presne napísať aké je zadanie príkladu?
To co si teraz napisal nie je spravne. Je to nezmysel. Skus este raz napisat presne zadanie prikladu, co chces dokazat a v com vidis problem.

Nemuzes psat takove veci jako $\forall x,y\in xRy$ . x,y jsou prvky nosne mnoziny X. Zatim co prvky relace R jsou dvojice (x,y). Zapis $xRy$ je ekvivalentny zapisu $(x,y)\in R$ . Pouzivej jedno nebo druhe.

cervicek · 13. 10. 2013 19:10

Přiklad:
Relace je cyklická, když aRb bRc implikuje cRa. Dokažte, že relace je reflexivni a cyklická $\Leftrightarrow$ je reflexivni, symetricka a tranzitivni.

Musí tam být dvě implikace aby z toho byla ekvivalence ... já si myslím, že to dokážu, tak že když jsou obě reflexivni tak určite bude moct byt tranzitivni a i cyklická, vždy budu moct složit jak cRa tak aRc.

Díky za odpověd, moc mi pomůže mám v těch důkazech a relacích zmatek.

JohnPeca18 · 13. 10. 2013 19:32

No mas dokazat obe implikace. Nejdriv teda dokazes vetu
Pokud relace je reflexivni a cyklická pak je reflexivni, symetricka a tranzitivni.
To rozlozis na tvrzeni
Pokud relace je reflexivni a cyklická pak je reflexivni,
Pokud relace je reflexivni a cyklická pak je symetricka
Pokud relace je reflexivni a cyklická pak je tranzitivni

Pak budes dokazovat vetu
Pokud relace je reflexivni, symetricka a tranzitivni pak je reflexivni a cyklicka
coz teda rozdelis na tvrzeni
Pokud relace je reflexivni, symetricka a tranzitivni pak je reflexivni
Pokud relace je reflexivni, symetricka a tranzitivni pak je cyklicka

Dukaz teda bude mit dokopy 5 casti.

Skus si ted rozmyslet, jak by si jednotlive casti dokazoval. Skus si hlavne rozmyslet myslenku. To jak to
formalne zapsat, to se vyresi pak.

cervicek · 13. 10. 2013 20:06

Když to nebudu psat formalně.
Když je reflexni a cyklická tak to že je reflexivni snad ani dokazovat nemusim ne ?....To předpokládám ne ?

Symetrii bych dokázal tak, že když je reflexivni, tak tam musi byt xRx a tím pádem by platila i symetrie ale museli by tam opravdu být jen prvky jako {(1,1),(2,2),(3,3)} pokud je množina (1,2,3).

Z toho by taky pak vyplinula i tranzitivita $\forall x\in R,(xRy \wedge yRy)\Rightarrow xRy$

např tato relace je trans. , sym. a reflexivni a nakonec je i cyklická
{(1,1),(2,2),(3,3)}
potom bych to udělal opačným způsobem, ale na stejné myšlence toho že když je splněná reflexivita symetričnost a tranzitivita ...a je tak xRx tak se splní i to že je cyklická.

JohnPeca18 · 13. 10. 2013 20:44

Když je reflexni a cyklická tak to že je reflexivni snad ani dokazovat nemusim ne ?....To předpokládám ne ?

Ano máš pravdu, to je trivialna časť.

Symetrii bych dokázal tak, že když je reflexivni, tak tam musi byt xRx a tím pádem by platila i symetrie ale museli by tam opravdu být jen prvky jako {(1,1),(2,2),(3,3)} pokud je množina (1,2,3).

Ty práve nemôžeš nič ďalšieho o tej relácií predpokladať, rozhodne nemôžeš predpokladať, že sa bude skladať len z prvkov {(1,1),(2,2),(3,3)}. Skús využiť ešte tu cykličnosť. Len z reflexivity nič nedokážeš. Musíš použiť obe vlastnosti. Ja som to už popísal vyššie,↑ JohnPeca18:

cervicek · 13. 10. 2013 21:49

$\forall x,y\in R,xRy \Rightarrow xRx\wedge (xRx\wedge xRy)\Rightarrow yRx$

Takto bych to mohl dokázat ne? Vpodstatě mi z toho vyšla symetrie ...takle jsem to myslel

děkuji za odpověď

JohnPeca18 · 13. 10. 2013 22:40

↑ cervicek:
No áno myšlienkovo dobre ale zase tam máš
$\forall x,y \in R$
To tam písať nemôžeš, relácí R, nepatria žiadne prvky. Relácí R patria dvojice prvkov (x,y).

Mozno by to stacilo zapisat aj takto. S tym, ze v komentari napises, ze $xRx$ vyplyva z reflexivity a preto to tam mozes dat. A posledna implikacia je z cyklicnosti.
$\forall x,y\in X,xRy \Rightarrow (xRx\wedge xRy)\Rightarrow yRx$

cervicek · 13. 10. 2013 22:56

Jojo už si uvědomuji tu chybu.
Já se do těchto matematických zapisů dostávám 1. týden.

Tak ti děkuju za čas, jdu to seslomit celé a pak to sem dám.
Nebýt této diskuze tak se asi zaseknu, neboť je to tak specifické, že nevím co je dobře a co ne.

Do půl hodiny to napíšu.

cervicek · 13. 10. 2013 23:21

takto mužu dokázet i tranzitivitu s tím že tam přidám a zároveň xRy
$\forall x,y\in X,xRy \Rightarrow (xRx\wedge xRy)\Rightarrow yRx\vee xRy$

tím bych měl první implikaci aby udělal důkaz pustim se do druhé implikace a bude ekvivalence

takže ted musim dokázat že když je TRANS. SYM. a REFLEX. je i cyklická.
Prvním rádkem chci říct že je TRANS. SYM. a REFLEX.
$\forall x,y\in X,xRy \Rightarrow xRx\wedge (xRx\wedge xRy)\Rightarrow xRy\vee xRy\Rightarrow yRx\Rightarrow$
Druhým chci říct, že z toho vyplývá, že je cyklická a je to.
$(xRx\wedge xRy)\Rightarrow yRx$

JohnPeca18

Tohle by neslo. Podivej se na definici tranzitiviti, respektive cyklicnosti. Musis zaci trema pismenkama
Dukaz cyklicnost+refl da trans.
$\forall x,y,z\in X (xRy \wedge yRz)\rightarrow^{cyklicnost} zRx \rightarrow^{symetrie} xRz$
Symetriu v predpokladech nemas, ale dokazal si ji v predchozim tvrzeni, tak ji muzes pouzit.

Dukaz refl+symetrie+trans da cykl je skoro to same
$\forall x,y,z\in X (xRy \wedge yRz)\rightarrow^{transitivita} xRz \rightarrow^{symetrie} zRx$

cervicek · 13. 10. 2013 23:59

Rozumím, jsem myslel, že z právě uvádět nemusím, když vím že je reflexní, ale teď už vím, že musím. :D

Tím je to vyřešeno, že ?

Díky...teď v tom mám relativně jasno.
Jdu si zkusit ještě něco, ale to už tu otravovat nebudu, tak dík za čas.

Matematické Fórum

#1 12. 10. 2013 13:54

Důkaz, množiny

#2 12. 10. 2013 14:30

Re: Důkaz, množiny

#3 12. 10. 2013 15:17

Re: Důkaz, množiny

#4 12. 10. 2013 15:31

Re: Důkaz, množiny

#5 13. 10. 2013 16:30

Re: Důkaz, množiny

#6 13. 10. 2013 18:51 — Editoval JohnPeca18 (13. 10. 2013 18:58)

Re: Důkaz, množiny

#7 13. 10. 2013 19:10

Re: Důkaz, množiny

#8 13. 10. 2013 19:32

Re: Důkaz, množiny

#9 13. 10. 2013 20:06

Re: Důkaz, množiny

#10 13. 10. 2013 20:44

Re: Důkaz, množiny

#11 13. 10. 2013 21:49

Re: Důkaz, množiny

#12 13. 10. 2013 22:40

Re: Důkaz, množiny

#13 13. 10. 2013 22:56

Re: Důkaz, množiny

#14 13. 10. 2013 23:21

Re: Důkaz, množiny

#15 13. 10. 2013 23:36 — Editoval JohnPeca18 (13. 10. 2013 23:37)

Re: Důkaz, množiny

#16 13. 10. 2013 23:59

Re: Důkaz, množiny

Zápatí