Matematické Fórum

Ferdish · 26. 10. 2013 14:54

Po dlhej dobe zdravím!

Mám menší problém s jedným zadaním. Ide o výpočet magnetickej indukcie valcovej cievky v ľubovoľnom bode priestoru. Na radu môjho školiteľa by som to mal vedieť počítať integrovaním priamo podľa Biot-Savartovho zákona, no pri hľadani jednoduchšieho prípadu, a síce výpočtu magn. indukcie prúdovej slučky (vychádzal som zo str. 262-263 týchto skrípt a z tohto materiálu), mi príde oveľa výhodnejšie spočítať vektorový potenciál a jeho rotáciou potom vypočítať indukciu.

Skúsil som teda prípad prúdovej slučky rozšíriť na valcovú cievku. Stred cievky som stotožnil s počiatkom sústavy a jej os s osou $z$ . Cievka je zobrazená ako plocha valca s polomerom $R$ a dĺžkou $2r$ , čiarkovane je naznačený rez cez valcovú plochu rovinou $xy$ . Bod $P$ je bod v ktorom chcem vypočítať vektorový potenciál $\vec{A}$ . Jeho vzdialenosť od elementu je $s$ , pomocou polárneho uhla $\varphi$ a azimutálneho uhla $\vartheta$ viem určiť vzdialenosť $s$ ako

$s=\sqrt{a^{2}+(x-R\text{cotg}\vartheta )^{2}}=\sqrt{R^{2}+x^{2}-2Rx\cos \varphi +x^{2}-2Rx\text{cotg}\vartheta +R^{2}\text{cotg}^{2}\vartheta}$

Pre prúdovú slučku je vektorový potenciál daný uzavretým krivkovým integrálom

$\vec{A}=\frac{\mu _{0}I}{4\pi } \int_{l}^{}\frac{d\vec{l}}{r}$ ,

kde $d\vec{l}$ je dĺžkový ekement krivky $l$ , $\mu _{0}$ je permeabilita, $I$ je veľkosť prúdu prech. slučkou, $r$ je vzdialenosť elementu $d\vec{l}$ od bodu, v ktorom vektorový potenciál počítam (značenie podľa skrípt vyššie). Moja valcová cievka je ale plocha, teda po započítaní azimutálneho uhla $\vartheta$ mi integrál prejde na plošný. Problem, s ktorým si neviem rady je, ako previesť tento uzavretý krivkový integrál na plošný, keďže mnou uvažovaná plocha nie je konturovaná krivkou $l$ a teda nemôžem použiť Stokesovu vetu. Viete niekto poradiť, ako tento problém vyriešiť?

Náčrt celej úlohy:

Ferdish · 28. 10. 2013 09:10

Pardon, našiel som v zadaní chybu, vzdialenosť $s$ má byť vyjadrená ako

$s=\sqrt{a^{2}+(z-R\text{cotg} \vartheta )^{2}}=\sqrt{R^{2}+x^{2}-2Rx\cos \varphi +z^{2}-2Rz\text{cotg}\vartheta +R^{2}\text{cotg}^{2}\vartheta }$

Dúfam, že mi niekto poradí, už si s tým lámem hlavu niekoľko dní, ale zatiaľ som na nič neprišiel.

Ferdish · 29. 10. 2013 16:57

Poprosím označiť tému za vyriešenú, prišiel som na to sám.

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2013 14:54

Magnetické pole (indukcia) valcovej cievky v ľubovoľnom bode priestoru

#2 28. 10. 2013 09:10

Re: Magnetické pole (indukcia) valcovej cievky v ľubovoľnom bode priestoru

#3 29. 10. 2013 16:57

Re: Magnetické pole (indukcia) valcovej cievky v ľubovoľnom bode priestoru

Zápatí