Matematické Fórum

teriberi · 07. 11. 2013 21:36 — Editoval jelena (08. 11. 2013 19:07)

Jelena: úloha je z předmětu Úlohy matematické olympiády a je určena k prezentaci jako splnění studijní povinnosti. Věřím, že především [i]podpoříte samostatnou snahu budoucí učitelky. Děkuji.[/i]

ahoj,
prosím, pomohl by mi někdo s touto úlohou? Nejlépe popsat celý postup řešení, abych to pochopila :) díky

Je dáno přirozené číslo n. Určete 2n + 1 za sebou jdoucích přirozených čísel, pro která platí:
součet druhých mocnin prvních n + 1 čísel se rovná součtu druhých mocnin posledních n
čísel.

BakyX · 07. 11. 2013 22:04

Tie čísla označme $a$ , $a+1$ , .. $a+2n$ .

Má platiť: $a^2+(a+1)^2+...+(a+n)^2=(a+n+1)^2+(a+n+2)^2+...+(a+2n)^2$ , takže

$(n+1)a^2 + 2a(1+2+...+n) + (1^2+2^2+...+n^2) = na^2 + 2a((n+1)+(n+2)+...+2n)) + (n+1)^2+...+(2n)^2$

$(n+1)a^2 + 2a(1+2+...+n) + (1^2+2^2+...+n^2) = na^2 + 2a((n+1)+(n+2)+...+2n)) + n.n^2+2n(1+2+...+n)+1^2+2^2+...+n^2$

$(n+1)a^2 + 2a(1+2+...+n) = na^2 + 2a((n+1)+(n+2)+...+2n)) + n.n^2+2n(1+2+...+n)2$

Už sú to len aritmetické postupnosti a plno nudného počítania. Možno to ide aj lepšie.

teriberi · 07. 11. 2013 22:13

↑ BakyX: a co je tedy výsledek? nějak nemůžu k ničemu dojít :(

jelena · 08. 11. 2013 10:01

↑ teriberi:

Zdravím,

kolega ↑ BakyX: pracuje s úpravou levé strany $a^2+(a+1)^2+...+(a+n)^2=\ldots$ a používá vzorec $(a+b)^2$ , potom seskupuje a vytýká. A to bych se kolegy chtěla zeptat, zda by bylo stejně použitelné, pokud bychom dokazovali, že $a^2+(a+1)^2+...+(a+n)^2-((a+n+1)^2+(a+n+2)^2+...+(a+2n)^2)=0$ ? To bychom mohli používat $(a-b)(a+b)$ pro "členy proti sobe"? Děkuji.

↑ teriberi: co znamená "prezentované úlohy" (je to starší odkaz)? Děkuji.

teriberi · 08. 11. 2013 16:06

↑ jelena: Ano, je to příklad z matematické olympiády a já ho mam předvést a vysvětlit a pořád se nemuzu dopracovat výsledku :(

jelena · 08. 11. 2013 19:04

↑ teriberi:

kolega ↑ BakyX:, pokud bude mít zájem a čas, tak určitě pro Tebe bude více užitečný v diskusi. Samotnému zadání úlohy jsi rozuměla? Jaké máte materiály? Procházela jsi například návodné úlohy k olympiádě nebo materiály matematických seminářů?

Možným vodítkem by mohlo být jediné téma, které jsem kdy založila v sekci Zajímavých úloh (a to k obrazu Bogdanova-Belskoho) . Aktuálně v Opavě lze vidět obraz stejného autora (zde je pojmenován Svačina, ale na Internetu vidím názvy jako Svátek učitelky).

Upravím název tématu a přesunu do Zajímavých pro ZŠ, přeji úspěšnou debatu s kolegy.

BakyX · 08. 11. 2013 20:30

↑ BakyX:

Myslím, že to ide aj krajšie. Označíme $a_{n+1}=a$ , potom platí

$(a-n)^2+(a-(n-1))^2+...+(a-1)^2+a^2=(a+1)^2+(a+2)^2+...+(a+n)^2$

$(n+1)a^2-2a(1+2+...+n)+(1^2+2^2+...+n^2)=na^2+2a(1+2+...+n)+(1^2+2^2+...n^2)$

$a^2=4a(1+2+...+n)$

Z toho je to jasné.