Matematické Fórum

souteh · 17. 11. 2013 16:54 — Editoval souteh (17. 11. 2013 16:56)

Zdravím, pomůže mi někdo s tímhle příkladem, prosím? Mám jich víc, budu pak přidávat další témata...

$lim(\sqrt{n^{2}+2n+2}-n)$

napadlo mě vytknout n a ve jmenovateli udělat "fígl" - místo n dát $\sqrt{n^{2}}$ , tím pádem bych ale dostal jako jednu část zlomku $\frac{\sqrt{2n}}{\sqrt{n^{2}}}$ a to je blbost.. tak prosím o nějaký funkčnější postup :)

bejf · 17. 11. 2013 17:02

Ahoj, nemůžeš v Latexu používat češtinu, pak se to nezobrazí.

$\lim_{n\to\infty}(\sqrt{n^{2}+2n+2}-n)$ zde rozšiř výrazem $\frac{\sqrt{n^2+2n+2}+n}{\sqrt{n^2+2n+2}+n}$

souteh · 17. 11. 2013 19:05

Šlo by to rozepsat, prosím? Nedochází mi, jak mi to pomůže..pořád se vracím ke stejnýmu problému.

bejf · 17. 11. 2013 22:37 — Editoval bejf (17. 11. 2013 22:42)

↑ souteh:
Určitě.

$\lim_{n\to\infty}$\sqrt{n^{2}+2n+2}-n$.\frac{\sqrt{n^2+2n+2}+n}{\sqrt{n^2+2n+2}+n}$
Teď to máš jakoby takovýto zlomek
$\frac{(a-b)(a+b)}{a+b}$ což je v podstatě $\frac{a^2-b^2}{a+b}$ vidíš to tam?

Tím, že se to umocní ten vršek nadruhou, tak se zbavíš těch odmocnin a vyjde:

$\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}+2n+2-n^2}{\sqrt{n^2+2n+2}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{2n+2}{\sqrt{n^2+2n+2}+n}$

Teď budem vytýkat nejvyšší mocninu.

$\lim_{n\to\infty}\frac{n$2+\frac{2}{n}$}{\sqrt{n^2$1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}$}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n$2+\frac{2}{n}$}{n\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\color{red}n\color{black}$2+\frac{2}{n}$}{\color{red}n\color{black}$\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}+1$}$

Červená nka se zkrátí a zbyde:
$\lim_{n\to\infty}\frac{2+\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}+1}=1$

byk7 · 17. 11. 2013 22:40

Rýpavá poznámka:
$\sqrt{n^{2}+2n+2}-n\cdot\frac{\sqrt{n^2+2n+2}+n}{\sqrt{n^2+2n+2}+n}$ a $$\sqrt{n^{2}+2n+2}-n$\frac{\sqrt{n^2+2n+2}+n}{\sqrt{n^2+2n+2}+n}$ jsou dvě různé věci.

bejf · 17. 11. 2013 22:41

↑ byk7:
Pravda, pozapomněl jsem uzávorkovat. Díky :)

souteh · 18. 11. 2013 11:05

Díky :)

Matematické Fórum

#1 17. 11. 2013 16:54 — Editoval souteh (17. 11. 2013 16:56)

Limita posloupnosti

#2 17. 11. 2013 17:02

Re: Limita posloupnosti

#3 17. 11. 2013 19:05

Re: Limita posloupnosti

#4 17. 11. 2013 22:37 — Editoval bejf (17. 11. 2013 22:42)

Re: Limita posloupnosti

#5 17. 11. 2013 22:40

Re: Limita posloupnosti

#6 17. 11. 2013 22:41

Re: Limita posloupnosti

#7 18. 11. 2013 11:05

Re: Limita posloupnosti

Zápatí