Matematické Fórum

Figa · 21. 11. 2013 04:01

Ahoj mám trošku nejasnosti v průběhu fce a vyšetření jednostranných derivací. Chápu postup, ale úplně nerozumím k čemu mi to je. Pokusím se ukázat na třech funkcích.
$f(x)=\frac{x}{1+e^{\frac{1}{x}}}: Df = \mathbb{R}\setminus \{0\}$
$f'(x)=\frac{x+e^\frac{1}{x}(x+1)}{x(e^{\frac{1}{x}}+1)^2}: Df = \mathbb{R}\setminus \{0\}$
Je zde potřeba něco dovyšetřovat? Nejedná se mi o průběh funkce jen o neexistenci derivace.

$f(x)=arcsin\frac{2x}{1+x^2}: Df=\mathbb{R}$
$f'(x)\frac{2(-x^2+1)}{(x^2+1)^2\sqrt{1-\frac{4x^2}{(x^2+1)^2}}}: Df=\mathbb{R}\setminus \{1,-1\}$
Zde není definována derivace v bodech 1 a -1. Vyšetřil jsem tedy tyto body.
$f'(1)=\lim_{x\to1\pm}\frac{arcsin(\frac{2x}{1+x^2})-\frac{\pi}{2}}{x-1}=\mp1$
$f'(-1)=\lim_{x\to-1}\frac{arcsin(\frac{2x}{1+x^2})+\frac{\pi}{2}}{x+1}=\frac{\pi}{2}$
Co to pro mě znamená?
No a poslední třetí fce, kde vůbec netuším jak testovat body Df, protože je s parametrem.
$f(x)=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}arcsin\frac{x}{a}:Df=\mathbb{R}:a<0:a\le x\le -a:a>0:-a\le x\le a$
$f'(x)=\frac{-x^2}{2\sqrt{a^2-x^2}}+\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a}{2\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}}:Df=\mathbb{R}:-\sqrt{a^2}<x<\sqrt{a^2}\wedge a\not =0$

Opravdu mě zajímá jak se u těchto funkcí postupuje a jaký to má význam děkuji.

jelena · 21. 11. 2013 11:44

Zdravím,

to je poměrně rozsáhlý dotaz, ale rozumím i důvodu proč je v jednom tématu. Můj pohled absolutního matematické laika je takový:

1. funkce - v bodě x=0 není definována již sama funkce, také vyšlo, že ani derivace není definována (bod x=0 nemůžeme považovat za stacionární). Podle znaménka 1. derivace pořád mohu došetřit monotonii funkce na def. oboru, ale nebudu uvažovat jednostrannou derivaci v okolí bodu 0.

Podrobnější chování funkce bych zde došetřila pomocí vyšetření asymptoty bez směrnice (pro x k 0) a 2. derivace.

2. funkce - funkce je definována na celém R, tedy i na bodech, kde derivace neexistuje (s ohledem na jmenovatel derivace, pokud jsem dobře počítala). Máme stacionární body x=1, x=-1. Kvalitu těchto bodů (typ extrému) došetříme pomocí změny znaménka 1. derivace. Také zde má smysl uvažovat i jednostranné derivace (ale nenašla bych pro ně praktické použití, byl by obdobný výstup, jako znaménko derivace).

3. funkce - nemá podle mého přímou souvislost s předchozími. Jelikož zde je větší dopad samotného parametru - podrobně vyšetřit podmínky pro parametr. Potom už mám funkce a derivace s ohledem na parametr (z předchozího kroku) a pracuji s "konkrétním zadáním funkce".

Teď si počkej na vyjádření odborníků. Určitě prospěje přidání odkazu na teorii, co používáte. Děkuji.

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2013 04:01

Jednostranná derivace a průběh fce

#2 21. 11. 2013 11:44

Re: Jednostranná derivace a průběh fce

Zápatí