Matematické Fórum

Callme · 11. 12. 2013 20:08

Potreboval by som pomoct s vypoctom tychto prikladov. Dakujem
$a)\sum_{i=0}^{100}\frac{2}{(i+1).(i+3)} b)\prod_{i=1}^{n}\frac{a_{i}+3}{a_{i}+1} c)\lim_{n\to\infty}\sum_{i=2}^{n}(\frac{1}{6})^{i}$

vanok · 11. 12. 2013 21:15 — Editoval vanok (15. 12. 2013 20:28)

Co si skusal robit?
Maly navod:
A) rozklad na sucet dvoch zlomkov
B) v sucine sa vela clenov zjednodusi ( v pripade ze by bola nejaka relacia medzi clenmy postupnosti)
C) geometricky rad
Édit: upresnenie.

Callme · 11. 12. 2013 21:47 — Editoval Callme (11. 12. 2013 22:29)

Nieco som skusil mohol by mi to niekto vypocitat surne to potrebujem
a) $\sum_{i=0}^{100}=\frac{2}{i+1}-\frac{2}{i+3}=\frac{2}{1}+\frac{2}{2}+\frac{2}{3}+...-\frac{2}{3}-\frac{2}{4}-\frac{2}{5}...=\frac{2}{1}+\frac{2}{2}-\frac{2}{103}$
b) $\prod_{i=1}^{n}\frac{a_{i}+3}{a_{i}+1}=\prod_{i=1}^{n}\frac{a_{1}+3}{a_{1}+1} *...* \frac{a_{n}+3}{a_{n}+1}$
c) $\lim_{n\to\infty}\sum_{i=2}^{n}(\frac{1}{6})^{i}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{36}+...(\frac{1}{6})^{n}$

Callme · 12. 12. 2013 14:08

Mohol by niekto pomoct? Dakujem

jelena · 12. 12. 2013 17:02

↑ Callme:

Zdravím,

není dobré dávat do tématu více dotazů, potom je to nepřehledné.

a) pokud jsi upravil

$\frac{2}{(i+1).(i+3)}=\frac{2}{i+1}-\frac{2}{i+3}$

tak se mi to nezdá v pořádku, zkus pro kontrolu opět dat ke společnému jmenovateli (jen drobná oprava), další kroky "poskládat nulující rozdíly k sobě", se mi zdá jako dobrá cesta.

b) zatím nevidím (mně vychází jen dělení čitatele jmenovatele, ale asi není dobrá cesta) - viz doporučení kolegy ↑ vanok:

c) součet geometrické řady s a_1=1/36, q=1/6 - splňuje podmínky použití vzorce pro součet (pro |q|<1). Tak jsi to myslel? Děkuji.

Callme · 12. 12. 2013 19:23

Nemohol by si mi to vypocitat potrebujem to do zajtra a dnes nemam vobec cas?

jelena · 13. 12. 2013 09:03

↑ Callme:

tak pravděpodobně to již není aktuální, včera jsem měla jiné aktivity a hlavně zdůvodnění

Nemohol by si mi to vypocitat potrebujem to do zajtra a dnes nemam vobec cas?

mne absolutně nemotivuje. Jak jsem napsala ↑ příspěvek 5:,
a) by mi vyšlo skoro stejně, jen $\frac{2}{(i+1).(i+3)}=\frac{1}{i+1}-\frac{1}{i+3}$ a při stejné metodě, co jsi použil se nepodaří vynulovat členy $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{102}-\frac{1}{103}$

b) nevidím nic, co by šlo, jen $\frac{a_{i}+3}{a_{i}+1}=\frac{a_{i}+1+2}{a_{i}+1}=1+\frac{2}{a_{i}+1}$ , ale to nevím, k čemu by bylo dobré,

c) všechno máš připraveno, jen dosadit do vzorce pro součet (kopírováno z wikipedie v odkazu)
$s_n =\frac{a_1}{1-q} & \mbox{ pro } \left|q\right|<1$

vanok · 13. 12. 2013 19:03

Pozdravujem ↑ jelena:,
Z tym b) som dal neuzitocnu myslienku, lebo vlastne nevieme aky je suvis medzi ai.
Pripadne tiez taka neuzitocna myslienka:ak su tam vsetki cleny kladne sucin sa da transformovat na sumu, vdaka ln.

jelena · 13. 12. 2013 19:12

↑ vanok:

Také zdravím a děkuji, nejspíš v zadání pro b) něco chybí.

vanok · 13. 12. 2013 19:29

↑ jelena:,
Ano chyba tam suvis medzi ai, napr.

Callme · 14. 12. 2013 23:30

Priklad po c) s limitou ma vyzerat takto?
$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=2}^{n}(\frac{1}{6})^{i}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{36}+...=\frac{\frac{1}{36}}{1-\frac{1}{6}}=\frac{\frac{1}{36}}{\frac{5}{6}}=\frac{1}{30}$

Callme · 15. 12. 2013 00:04

Ked mam takyto priklad tak rozklad bude vyzerat takto?
$\sum_{i=2}^{100}\frac{6}{(i)(i+3)}=\frac{2}{i}-\frac{2}{i+3}=$

jelena · 15. 12. 2013 09:05

↑ Callme: příklad c) mi vyšel stejně.

↑ příspěvek 12:

nedávej, prosím, do tématu více dotazu (to už jsem psala), je to nepřehledné. Pokud rozkládáš na parciální zlomky, tak něco jde rozložit jen od pohledu, na něco je třeba používat postupy, ale vždy je možné překontrolovat svůj výsledek tak, že rozklad opět dáš ke společnému jmenovateli - musí vycházet původní zlomek. Kontroloval jsi? Pokud nepomůže, tak do samostatného tématu.

----------------
S kolegou vanek se ptáme, zda zadání k úloze b) je kompletní? Tak to, prosím, upřesní. Děkuji.

Callme · 15. 12. 2013 11:55

Ano kontroloval po odcitani dostanem
$\frac{2}{i}-\frac{2}{i+3}=\frac{6}{(i)(i+3)}$

jelena · 15. 12. 2013 15:55

↑ Callme:

tak potom je všechno v pořádku. Ještě doplň, prosím, zda zadání c) je kompletní. Děkuji.

Callme · 15. 12. 2013 17:06

Tak c) by malo byt kompletne nemyslis nahodou b)?

jelena · 15. 12. 2013 17:46

↑ Callme:

ano, myslím(e) s kolegou vanok b) - viz opakovaně v tématu.

Callme · 15. 12. 2013 18:11 — Editoval Callme (15. 12. 2013 18:32)

Neviem ci zadanie po b) je napisane spravne lebo toto zadanie mam opisane len zo zosita takze kludne som sa mohol pomylit ked som to zapisoval do zosita

Marian · 15. 12. 2013 18:30

↑ Callme:

Řekl bych, že je to nepsrávně zapsáno. Nevím, odkud kolega vanok bere jistotu, že se v součinu mnohé zjednoduší krácením (tímto srdečně zdravím). Tak jak je to v originálním příspěvku zadáno, není zřejmé nic. Povaha úlohy je silně podmíněna tvarem členů $a_n$ . Mohlo se však stát, že součin měl vypadat třeba takto:

Potom lze použít to, čemu se často říká multiplikativní teleskop a rada od vanok-a je zcela opodstatněná.

Callme · 15. 12. 2013 18:35

Nemoze byt chyba nahodou v tom ze tam tie $a$ nemaju vobec byt a ma tam zostat len $i$

jelena · 15. 12. 2013 19:34

↑ Marian:

Také zdravím srdečně :-)

Kolega vanok svůj názor celkem rychle opravil, svorně tvrdíme, že nic nevidíme a prosíme kolegu ↑ opakovaně: o upřesnění zadání.

↑ Callme:

náhodou tam může být úplně všechno (cestou "zo zosita do zosita") :-) Bude nejlepší si uvěřit u autora zadání nebo u spolužáků.

vanok · 15. 12. 2013 20:27 — Editoval vanok (15. 12. 2013 22:53)

Pozdravujem ↑ jelena:,
Je pravdepodobne, ako poznamenal kolega Marian( ktoreho tiez pozdravujem), pravdepodobne ide o chybu z indexamy, lebo casto ( i ked to nema tiez logiku) kazde cvicenie ma riesenie(ia).

Matematické Fórum

#1 11. 12. 2013 20:08

Sucty a sucin

#2 11. 12. 2013 21:15 — Editoval vanok (15. 12. 2013 20:28)

Re: Sucty a sucin

#3 11. 12. 2013 21:47 — Editoval Callme (11. 12. 2013 22:29)

Re: Sucty a sucin

#4 12. 12. 2013 14:08

Re: Sucty a sucin

#5 12. 12. 2013 17:02

Re: Sucty a sucin

#6 12. 12. 2013 19:23

Re: Sucty a sucin

#7 13. 12. 2013 09:03

Re: Sucty a sucin

#8 13. 12. 2013 19:03

Re: Sucty a sucin

#9 13. 12. 2013 19:12

Re: Sucty a sucin

#10 13. 12. 2013 19:29

Re: Sucty a sucin

#11 14. 12. 2013 23:30

Re: Sucty a sucin

#12 15. 12. 2013 00:04

Re: Sucty a sucin

#13 15. 12. 2013 09:05

Re: Sucty a sucin

#14 15. 12. 2013 11:55

Re: Sucty a sucin

#15 15. 12. 2013 15:55

Re: Sucty a sucin

#16 15. 12. 2013 17:06

Re: Sucty a sucin

#17 15. 12. 2013 17:46

Re: Sucty a sucin

#18 15. 12. 2013 18:11 — Editoval Callme (15. 12. 2013 18:32)

Re: Sucty a sucin

#19 15. 12. 2013 18:30

Re: Sucty a sucin

#20 15. 12. 2013 18:35

Re: Sucty a sucin

#21 15. 12. 2013 19:34

Re: Sucty a sucin

#22 15. 12. 2013 20:27 — Editoval vanok (15. 12. 2013 22:53)

Re: Sucty a sucin

Zápatí