Matematické Fórum

Daniela_H · 12. 02. 2009 02:28

Je to zřejmě jednoduchý příklad, nevím ale, jak to vyjádřit.

Určete A^n

A=
1 1 0
0 1 1
0 0 1

Pavel Brožek · 12. 02. 2009 07:25

Napiš si tu matici jako součet jednotkové matice a toho co zbude. Pak použij binomickou větu (pozn.: násobení jednotkovou maticí je komutativní).

Daniela_H · 12. 02. 2009 08:40

↑ BrozekP:

Vím co je to binomická věta, vím, jaký součet myslíš, ale jak to mám zapsat pro n-tou mocninu, to mi právě nejde do hlavy. Mohl by jsi to prosím rozepsat? Moc prosím.

Elijen · 12. 02. 2009 09:50

V tomhle případě ani binomickou větu nepotřebuješ, stačí si uvědomit, že matice je regulární a tedy i její libovolná mocnina je regulární ... pak využiješ faktu, že násobení regulární maticí zleva odpovídá elementárním úpravám matice ... v tomto případě je zřejmě jedno, jestli počítáš A^n = A * A^(n-1) nebo A^n = A^(n-1) * A . Každé násobení odpovídá přičtení druhého řádku k prvnímu a třetího ke druhému (v tomto pořadí). ... Uhodnou jak bude vypadat A^n pak není těžké.

musixx · 12. 02. 2009 10:01 — Editoval musixx (12. 02. 2009 10:17)

↑ Elijen: Toto je jiste mozne. Ale urcite se nemuze nic "hadat". Musi se to dokazat (indukci?). Reseni od ↑ BrozekP: je oproti tomu ciste (diky poznamce v zavorce).

EDIT:

Neni tezke ukazat, ze
$\begin{pmatrix}1&x&\ \ \ \sum_{i=1}^{x-1}i\nl\nl\nl\nl\nl\nl\nl0&1&x\nl0&0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1&0\nl0&1&1\nl0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x+1&\ \ \ x+\sum_{i=1}^{x-1}i\nl\nl\nl\nl\nl\nl\nl0&1&x+1\nl0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x+1&\ \ \ \sum_{i=1}^{x}i\nl\nl\nl\nl\nl\nl\nl0&1&x+1\nl0&0&1\end{pmatrix}$ ,
tedy je vse jasne. Poznamka: na tu prvni matici jsem prisel tak, ze jsem se podival, co se pri nasobeni deje: tedy neco, jako navrhoval ↑ Elijen:, ovsem korektne dokazano (samozrejme ze ta suma jde snadno secist).

Pavel Brožek · 12. 02. 2009 10:59

↑ Daniela_H:

Abych dokončil to mnou navrhované řešení:

.

Ale protože mocniny té matice s nulami na diagonále jsou od třetí mocniny nulové matice, dostáváme

Elijen · 12. 02. 2009 11:54 — Editoval Elijen (12. 02. 2009 12:02)

↑ musixx:
Samozřejmě jsem měl na mysli "kvalifikovaný odhad" :D ... nepředpokládám, že každý podobný příklad je třeba dokazovat indukcí.

Pokud postupuji následovně:
1 1 0
0 1 1 ... Jednotková matice + na souřadnicích 1,2 a 2,3 je nějaké t (=1) ... z asociativity A^n = A * A^(n-1)= A^(n-1) * A ...
0 0 1

... každé násobení přičte 1-násobek 2. řádku k prvnímu a 1-násobek třetího k druhému ... po n-tém násobení tedy vznikne matice

1 n c
0 1 n
0 0 1

kde c vznikne součtem 1 + 2 + ... + (n-1) + n = $\frac{n^2+n}{2}$

tak na tom nevidím nic nekorektního.

musixx · 12. 02. 2009 12:40

↑ Elijen: Jasně, jasně. Není žádného sporu v tom, že ta myšlenka tam je a je správná. Jen jde o to, jak se to podá. To, jak vznikne 'c', je v tvém zdůvodnění pouze řečeno, dalo by se říct, že říkáš "zřejmě je", ale člověk musí být při tomhle obzvlášť opatrný. Mnohdy je totiž přání otcem myšlenky (z vlastní zkušenosti - člověk je rád, jak to do sebe všechno zapadá, a tak lehce něco přehlédne).

Matematické Fórum

#1 12. 02. 2009 02:28

Mocnění matice na n-tou

#2 12. 02. 2009 07:25

Re: Mocnění matice na n-tou

#3 12. 02. 2009 08:40

Re: Mocnění matice na n-tou

#4 12. 02. 2009 09:50

Re: Mocnění matice na n-tou

#5 12. 02. 2009 10:01 — Editoval musixx (12. 02. 2009 10:17)

Re: Mocnění matice na n-tou

#6 12. 02. 2009 10:59

Re: Mocnění matice na n-tou

#7 12. 02. 2009 11:54 — Editoval Elijen (12. 02. 2009 12:02)

Re: Mocnění matice na n-tou

#8 12. 02. 2009 12:40

Re: Mocnění matice na n-tou

Zápatí