Matematické Fórum

misha8 · 17. 02. 2009 15:14

urči vnitřní úhly trojúhelníka, jehož poměr délek stran je 2:3:4
předem děkuji!Míša

musixx · 17. 02. 2009 15:22 — Editoval musixx (17. 02. 2009 16:19)

↑ misha8: Pro velikosti uhlu nezalezi na konkretni velikosti trojuhelnika. Muzes tedy uvazovat trojuhelnik se znamymi stranami 2, 3 a 4. Pak uz jen staci aplikovat treba cosinovou vetu.

EDIT: Hezke veci jsou tez treba zde (vyuziti Heronova vzorce).

Anebo nasledujici: V trojuhleniku muze byt nejvyse jeden uhel vetsi nez pravy a pokud nejaky takovy uhel v tom nasem trojuhleniku bude, pak to musi byt uhel $\gamma$ , protoze plati, ze $a:b:c=\sin\alpha\ :\ \sin\beta\ :\ \sin\gamma$ (vicemene sinova veta). Tedy mohu psat $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ , $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$ a totez pro $\beta$ . Sinova veta v ciste podobe rika $\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac ab$ , $\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac bc$ a treti rovnost je uz zavisla s predeslyma dvema. Zrejme tez $\sin\gamma=\sin(180^\circ-\alpha-\beta)$ , coz nam dava

$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac23\nl\frac{\sin\beta}{\sin(180^\circ-\alpha-\beta)}=\frac34$ ,
tedy
$3\sin\alpha=2\sin\beta\nl4\sin\beta=3\sin180^\circ\cos(\alpha+\beta)-3\cos180^\circ\sin(\alpha+\beta)=3\sin(\alpha+\beta)=3\sin\alpha\cos\beta+3\cos\alpha\sin\beta$ .

S vyuzitim treba $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ , $\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}$ (nebo tehoz pro $\beta$ ) dostanes reseni tez. Vyhoda tohoto pracnejsiho pristupu: asi zadna, ale vypada to uceneji. :-))

Cheop · 17. 02. 2009 15:50

↑ misha8:
Zvioíme:
a = 2
b = 3
c = 4
Z kosinové věty dostaneš:
$\cos\,\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\cos\,\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
$\cos\,\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
Stačí jen dosadit a vypočítat předmětné úhly.

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

misha8 · 17. 02. 2009 17:48

děkuji

musixx · 18. 02. 2009 08:44 — Editoval musixx (18. 02. 2009 08:46)

Jeste jsem si uvedomil, ze prime reseni je tez nasledujici - delky stran trojuhelnika jsou vzdy nezaporne, tedy zejmena nenulove (vzorce napsal uz ↑ Cheop:). Uvazme treba $\alpha$ .

$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ plati v kazdem trojuhleniku se standardnim znacenim. Tedy tez

$\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{\frac1{b^2}}{\frac1{b^2}}=\frac{1+\left(\frac cb\right)^2-\left(\frac ab\right)^2}{2\cdot\frac cb}$ , kde pomery $\frac cb$ a $\frac ab$ zname primo ze zadani.

Analogicky pro $\beta$ a $\gamma$ .

Matematické Fórum

#1 17. 02. 2009 15:14

výpočet úhlu

#2 17. 02. 2009 15:22 — Editoval musixx (17. 02. 2009 16:19)

Re: výpočet úhlu

#3 17. 02. 2009 15:50

Re: výpočet úhlu

#4 17. 02. 2009 17:48

Re: výpočet úhlu

#5 18. 02. 2009 08:44 — Editoval musixx (18. 02. 2009 08:46)

Re: výpočet úhlu

Zápatí