Matematické Fórum

Breta · 18. 02. 2009 10:35 — Editoval Breta (18. 02. 2009 12:57)

Ahoj prosim vas pomohli bysme mi pomoct vyresit tuto soustavu rovnic..vubec nevim jak postupovat..diky

2x-3y+7z = 5
3x+5y-6z = -1

Marian · 18. 02. 2009 12:30

↑ Breta:
Nadpis hovoří o diofantických rovnicích. Ale jedná se o dvě úlohy (tomu pak odpovídající dvě rovnice) nebo se snad jedná o nějakou soustavu ...? Prosím upřesnit.

musixx · 18. 02. 2009 12:35 — Editoval musixx (18. 02. 2009 12:51)

Bud to mas resit jako dve diofanticke rovnice, nebo ma jit o soustavu dvou rovnic. Predpokladam to druhe, ale pokud by to bylo to prvni, tak proste moje reseni zhruba v pulce ukonci. Vsechno, co budu psat dale, se bude odehravat v celych cislech. Dale predpokladam, ze znas kongruence na $\mathbb Z$ a budu je znacit jen prostym $a\equiv b\ (m)$ . Nejvetsi spolecny delitel budu znacit jako $(a,b)$ .

Nejprve vyresime kazdou rovnici samostatne, podle postupu, ktery je vzdy pouzitelny a vzdy vede k cili za predpokladu, ze nejvetsi spolecny delitel koeficientu u neznamych deli absolutni clen. Pak se dokonce dopredu da rict, kolik parametru bude potreba (o jeden min nez je neznamych).

I. $2x-3y+7z=5$

$(2,3)=1$ , tedy pro vypocet $z$ uvazim kongruenci modulo 1: $2x-3y+7z\equiv5\ (1)$ , tedy $0\equiv0\ (1)$ , tedy vse je reseni, tedy $z=t$ .

Proto $2x-3y=5-7t$ . Kongruence modulo 3 dava $2x-3y\equiv5-7t\ (3)$ , tedy $2x\equiv2+2t\ (3)$ , tedy $x\equiv1+t\ (3)$ , tedy $x=1+t+3s$ .

Proto $y=\frac{2x+7z-5}3=\frac{2(1+t+3s)+7t-5}3=-1+3t+2s$ a o to, ze "to pujde vydelit", se nemusime (ani v dalsim) starat, protoze to je dano z teorie, resp. je to aspon mala kontrola toho, ze v pocitani nemame chybu.

II. $3x+5y-6z=-1$

$(3,-6)=3$ , tedy pro vypocet $y$ uvazim kongruenci modulo 3: $3x+5y-6z\equiv-1\ (3)$ , tedy $2y\equiv2\ (3)$ , tedy $y\equiv1\ (3)$ , tedy $y=1+3u$ .

Ted dosadim: $3x-6z=-1-5(1+3u)$ (vim, ze pujde vydelit cislem $(3,-6)=3$ - opet z teorie), tedy $3x-6z=-6-3u$ , tedy $x-2z=-2-u$ . Ted modulo 2 mam $x\equiv u\ (2)$ , tedy $x=u+2v$ .

Proto $z=\frac{3x+5y+1}6=\frac{3(u+2v)+5(1+3u)+1}6=1+3u+v$ .

No a ted tyto dve reseni dame dohromady. Zrejme x=x, y=y, z=z, tedy

$1+t+3s=u+2v$
$-1+3t+2s=1+3u$
$t=1+3u+v$

Kdyz ted dosadim treti rovnici do zbylych dvou (za t), tak dostanu

$3s=-2-2u+v$
$2s=-1-6u-3v$

Ted porovnam dvounasobek prave strany prvni rovnice a trojnasobek druhe (obe dve strany si musi byt rovny, a to cislu $6s$ ), coz mi da:

$-4-4u+2v=-3-18u-9v$ , neboli $14u+11v=1$ .

Protoze $(14,11)=1\ |\ 1$ , tak mam reseni (s 2-1, tedy jedinym parametrem). Najdeme jej snadno:

$14u+11v\equiv1\ (11)$ , tedy $3u\equiv1\equiv12\ (11)$ , tedy $u\equiv4\ (11)$ , tedy $u=4+11a$ .

Proto $v=\frac{1-14u}{11}=\frac{1-14(4+11a)}{11}=-5-14a$ .

Celkem tedy

$x=u+2v=4+11a+2(-5-14a)=-6-17a$
$y=1+3u=1+3(4+11a)=13+33a$
$z=1+3u+v=y+v=13+33a+(-5-14a)=8+19a$ .

Jako zkouska muze slouzit treba reseni pro $a=0$ : $x=-6,\ y=13,\ z=8$ , resp. pro $a=2$ : $x=-40,\ y=79,\ z=46$ (obe jsem si vyzkousel).

Matematické Fórum

#1 18. 02. 2009 10:35 — Editoval Breta (18. 02. 2009 12:57)

Diofantovské rovnice

#2 18. 02. 2009 12:30

Re: Diofantovské rovnice

#3 18. 02. 2009 12:35 — Editoval musixx (18. 02. 2009 12:51)

Re: Diofantovské rovnice

Zápatí