Matematické Fórum

auditor · 14. 01. 2014 23:11

$\\lim_{x\to\infty }sin (\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x})\ln (x^{2}+\sin x)$

Chtěl bych se zeptat, jestli je možné vhodnou úpravou zcela odstranit z výrazu odmocniny a jestli existuje elegantnější postup než opakované použití L'Hospitalova pravidla. Děkuji.

auditor · 14. 01. 2014 23:25

↑ gadgetka:
Nikoliv, jedná se o součin funkcí sinus a logaritmus.

gadgetka

oki, vymazáno... ;)

jelena · 15. 01. 2014 12:03

↑ auditor:

Zdravím,

závorka u sin(...) je taková nabízející k rozšíření dle vzorce, potom bych zkusila uvažovat substituci 1/x=t, pro t k 0.
Nepodáří se potom dojit k použitelné úpravě na tabulkové vzorce? (nebo si tématu povšimne někdo z kolegů, kolegům děkuji).

cryogenic

Nevím o kolik je tohle elegantnější, nicméně tady stačí l'H jen jednou, nebo stačí porovnat x a logartimus, co roste rychleji(doufám, že jsem nikde neudělal chybu)
$\lim_{x\to\infty }\sin (\sqrt{2x+3}-\sqrt{2x})\ln (x^{2}+\sin x)=lim_{x\to\infty }\sin{\frac{2x+3-2x}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x}}}(2\ln{x}+\ln{(1+\frac{\sin x}{x^2})}$
$=\lim_{x\to\infty }\sin{\frac{3}{\sqrt{2x}(\sqrt{1+\frac{3}{2x}}+1)}}\ln{(1+\frac{\sin x}{x^2})}+\lim_{x\to\infty }2\sin{\frac{3}{\sqrt{2x}(\sqrt{1+\frac{3}{2x}}+1)}}\ln x$
$=0+\lim_{x\to\infty }\frac{\sin{\frac{3}{\sqrt{2x}(\sqrt{1+\frac{3}{2x}}+1)}}}{\frac{3}{\sqrt{2x}(\sqrt{1+\frac{3}{2x}}+1)}}\frac{2\cdot3 \ln x}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x}}=0+1\lim_{x\to\infty }\frac{2\cdot 3 \ln x}{\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x}}=\lim_{x\to\infty }...$

edit:zapomněl jsem jeden zlomek

jelena · 15. 01. 2014 17:42

↑ cryogenic:

Zdravím a děkuji, přibližně takové úpravy jsem si přestavovala na úvod (se substituci mi to přišlo více průhledné a méně napadnutelné, když mám uvažovat sin(x) v nekonečnu ). Bez l´H - to je takový místní folklor :-) Dokázat, že to jde bez l´H.

↑ kedizz:

Také pozdrav, založ si, prosím, vlastní téma - viz pravidla. Zápis jsem Tobě opravila, tak si všechno překopíruj do nového tématu. Děkuji.

auditor · 15. 01. 2014 20:30

↑ cryogenic: a ↑ jelena:

Děkuji oběma za pomoc. Hledaná úprava bylo vytknutí $\sqrt{2x}$ .

Matematické Fórum

#1 14. 01. 2014 23:11

Limita funkce sinus a logaritmus

#2 14. 01. 2014 23:20 — Editoval gadgetka (14. 01. 2014 23:28) Příspěvek uživatele gadgetka byl skryt uživatelem gadgetka.

#3 14. 01. 2014 23:25

Re: Limita funkce sinus a logaritmus

#4 14. 01. 2014 23:28 — Editoval gadgetka (14. 01. 2014 23:34)

Re: Limita funkce sinus a logaritmus

#5 15. 01. 2014 12:03

Re: Limita funkce sinus a logaritmus

#6 15. 01. 2014 13:17 — Editoval cryogenic (15. 01. 2014 15:17)

Re: Limita funkce sinus a logaritmus

#7 15. 01. 2014 16:19 — Editoval jelena (15. 01. 2014 17:38) Příspěvek uživatele kedizz byl skryt uživatelem kedizz. Důvod: vlastní téma

#8 15. 01. 2014 17:42

Re: Limita funkce sinus a logaritmus

#9 15. 01. 2014 20:30

Re: Limita funkce sinus a logaritmus

Zápatí