Matematické Fórum

evik · 07. 12. 2007 22:35

Ahoj moc bych vás prosila o vysvetleni, nejlepe dosti podrobne, moc moc prosím :)

Mám lineární prostor polynomů nejvýše 2 stupně P2, a na nem bilineární predpis f(p,q) který dvema polynomům (z P2) přiřadí číslo takto:

F(p,q) = ( p(1)+p(0) ) . ( q(1)+q(0) )

Nalezněte matice těchto forem vzhedem k bázi (1,x,x^2) a taky vzhledem k bazi (x^2+1, x+1,x).

(díky dotau, který jsem tu už nasla, jsem vypočetla matici a ta mi vypadá
1 1 2
1 1 2
2 2 4
ve vysledcích je uvedena ale matice trochu prehozená (snad transponovana) - proc? jak k ní dojdu? dál si nevím rady)

Rozhodněte také o symetrii, regularitě, určete vrcholy a polární báze.

evik · 11. 12. 2007 14:53

Prosím, najde se někdo, kdo mi s tím pomůže? Moc díky

Kondr · 25. 12. 2007 12:06

Tak já zkusím aspoň začít: přehození matice souvisí s tím, jakoou zvolíme bázi. Ve zmiňovaném příspěvku byla báze x^2,x,1, teď chceme 1,x,x^2. Proto budou sloupce i řádky v opačném pořadí:
4 2 2
2 1 1
2 1 1
Jak k takové matici dojít ukážu pro tu bázi x^2+1,x+1,x. Vektory p a q si vyjádříme jako lineární kombinaci prvků báze:

p=a(x^2+1)+b(x+1)+cx
q=e(x^2+1)+f(x+1)+gx

F(p,q)=(3a+3b+c)(3e+3f+g)

9 9 3
9 9 3
3 3 1

Jak vidíme, v obou případech je matice singulární a symetrická.

Kondr · 25. 12. 2007 16:40

Za polární bázi zvolme
x,1-2x^2,1-2x
p=a(x^2+1)+b(x+1)+cx
q=e(x^2+1)+f(x+1)+gx
F(p,q)=ae
1 0 0
0 0 0
0 0 0
Co se týče vrcholu, budu citovat pana Žemličku z matfyzu:
Úlohu můžeme vyřešit pomocí Věty 2.16, která říká, že bázi V(F) (= V_l(F) = V_p(F)) tvoří právě ty vektory v polární báze, pro něž je F(v)=0. Tedy V(F) = < 1-2x^2,1-2x>.
(převzato z http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zemlicka … /pla_1.htm , příkad 12).
Větu 2.16 jsem nikde nenašel... dokázat ji neumím, protože nevím, co je to vrchol.
Nicméně věřím, že to takhle platí :)

Matematické Fórum

#1 07. 12. 2007 22:35

Matice vzhledem k bázi...

#2 11. 12. 2007 14:53

Re: Matice vzhledem k bázi...

#3 25. 12. 2007 12:06

Re: Matice vzhledem k bázi...

#4 25. 12. 2007 16:40

Re: Matice vzhledem k bázi...

Zápatí