Matematické Fórum

jarrro · 31. 03. 2014 09:14 — Editoval jarrro (31. 03. 2014 09:14)

čaute. asi som blbý a je to úplne triviálne, ale prečo kompaktná topologická grupa v ktorej existuje prvok
$a$ taký, že množina $A=\{a^z:z\in\mathbb{Z}\}$ je hustá v G musí byť komutatívna?

OiBobik

↑ jarrro:

cau,

myslim, ze kompaktnost nepotrebujes, staci ti Hausdorffovost te topologie (coz mas bud z kompaktnosti nebo z def topologicke grupy - zalezi na definicich).

Necht pro spor $c, d$ jsou prvky takove, ze $cd \neq dc$ , tj $cdc^{-1}d^{-1} \neq 1$ . Pak ze spojitosti operace $x\mapsto xdx^{-1}d^{-1}$ existuje $U$ okoli bodu $c$ takove, ze pro kazde $c' \in U$ je $c'dc'^{-1}d^{-1} \neq 1$ . Ale mnozina $A$ je husta, tedy $a^z \in U$ pro nejake $z$ . Tedy $a^zda^{-z}d^{-1} \neq 1$ . Ze spojitosti operace $x \mapsto a^zxa^{-z}x^{-1}$ pak ex. Okoli $V$ bodu $d$ tz pro kazde $d'\in V$ je $a^zd'a^{-z}d'^{-1}\neq 1$ . Pak ovsem opet $a^k \in V$ pro nejake $k$ . Tedy nakonec $a^{z+k}a^{-z-k} \neq 1$ . To je spor.

(Pozn: Obecně by stačilo, aby daná topologická grupa měla nějakou hustou komutativní podgrupu.)