Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 31. 03. 2014 09:14 — Editoval jarrro (31. 03. 2014 09:14)

jarrro
Příspěvky: 5471
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Kompaktná grupa z hustými mocninami

čaute. asi som blbý a je to úplne triviálne, ale prečo kompaktná topologická grupa v ktorej existuje prvok
$a$ taký, že množina $A=\{a^z:z\in\mathbb{Z}\}$ je hustá v G musí byť komutatívna?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) jarrro)

#2 31. 03. 2014 13:35 — Editoval OiBobik (31. 03. 2014 20:54)

OiBobik
Moderátor
Místo: Brno/Praha
Příspěvky: 1013
Škola: MFF UK Mat. struktury
Pozice: student
Reputace:   82 
 

Re: Kompaktná grupa z hustými mocninami

↑ jarrro:

cau,

myslim, ze kompaktnost nepotrebujes, staci ti Hausdorffovost te topologie (coz mas bud z kompaktnosti nebo z def topologicke grupy - zalezi na definicich).

Necht pro spor $c, d$ jsou prvky takove, ze $cd \neq dc$, tj $cdc^{-1}d^{-1} \neq 1$. Pak ze spojitosti operace $x\mapsto xdx^{-1}d^{-1}$ existuje $U$ okoli bodu $c$ takove, ze pro kazde $c' \in U$ je $c'dc'^{-1}d^{-1} \neq 1$. Ale mnozina $A$ je husta, tedy $a^z \in U$ pro nejake $z$. Tedy $a^zda^{-z}d^{-1} \neq 1$. Ze spojitosti operace $x \mapsto a^zxa^{-z}x^{-1}$ pak ex. Okoli $V$ bodu $d$ tz pro kazde $d'\in V$ je $a^zd'a^{-z}d'^{-1}\neq 1$. Pak ovsem opet $a^k \in V$ pro nejake $k$. Tedy nakonec $a^{z+k}a^{-z-k} \neq 1$. To je spor.

(Pozn: Obecně by stačilo, aby daná topologická grupa měla nějakou hustou komutativní podgrupu.)


"The first rule of Tautology Club is the first rule of Tautology Club." [xkcd]

Offline

 

#3 01. 04. 2014 08:39 — Editoval jarrro (01. 04. 2014 08:39)

jarrro
Příspěvky: 5471
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Kompaktná grupa z hustými mocninami

Ahoj .Ďakujem za dôkaz.


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson