Matematické Fórum

stereo-total-music · 12. 04. 2014 17:23

Hledám důkaz platnosti nerovnice:
$n\neq (\frac{(x_{1}+\ldots +x_{n})^{2}}{x_{1}^{2}+\ldots +x_{n}^{2}}=\frac{(\sum_{i=1}^{n}x_{i})^{2}}{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}})$

Předpokládám platnost od $n\ge 2$

Zkouším indukci:
pro $n= 2$ :
$(x_{1}-x_{2})^{2}\neq 0$
což platí vždy, protože mám takový předpoklad.

pro $n+1$ :
$n+1\neq \frac{(x_{1}+\ldots +x_{n+1})^{2}}{x_{1}^{2}+\ldots +x_{n+1}^{2}}$
Jak tuhle platnost dokázat?

stereo-total-music

Pokud si vztah vypíšu pro (n=3), tak mi vyjde výraz, který lze generalizovat společně s (n=2) (a snad i s ostatními n):

$\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\neq \sum_{i=1,j=1,j<i}^{n}x_{i}x_{j}$

Oprava - správný vztah vypadá:
$(n-1)\sum x_i^2\neq 2\sum x_i x_j$

Bati · 12. 04. 2014 17:54

Ahoj ↑ stereo-total-music:,
Nebylo by od věci napsat pořádně, co všechno předpokládáš, a co chceš dokázat. Vypadá to totiž tak, že dané tvrzení chceš dokázat pro všechny souřadnice x_i, ale když ti to pro n=2 nevychází, tak si najednou přidáš předpkolad, že $x_1\neq x_2$ . Ok, ale pak nejspíš budeš muset tento předpoklad nějak zobecnit pro větší n.

Kromě toho, dle mého názoru, takovou nerovnost pomocí indukce nedokážeš. Zhruba řečeno, nedokážu si představit, jak by ti mohl indukční předpoklad, že se něco sobě nerovná, pomoct dokázat, že něco netriviálně jiného se taky sobě nerovná.

stereo-total-music

↑ Bati:
Mám počáteční předpoklad:
$x_{i}\neq x_{j}$
alespoň pro dva indexy
$i,j;1\le i,j\le n$

Důkaz může být samozřejmě i jinou metodou. Jde o to, že nejsem v dokazování moc zběhlý, a indukce je tak jediná metoda, kterou už jsem si něco dokázal.

Bati · 12. 04. 2014 18:21

↑ stereo-total-music:
Ok, je možné, že takový předpoklad bude stačit. Tvůj zápis pomocí sum není správný, případ n=3 není dostatečně obecný. Ve skutečnosti tě zajímá kdy $(n-1)\sum x_i^2=2\sum x_i x_j$ .

stereo-total-music · 13. 04. 2014 21:04

Vyřešeno:

$(n-1)\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\neq 2\sum_{i=1,j=1,j<i}^{n}x_{i}x_{j}$

je ekvivalentní výrazu

$\sum_{i=1,j=1,j<i}^{n}(x_{i}-x_{j})^{2}\neq0$

což za zadaných předpokladů platí vždy.

Děkuji za pomoc :)

Matematické Fórum

#1 12. 04. 2014 17:23

Důkaz platnosti nerovnice

#2 12. 04. 2014 17:45 — Editoval stereo-total-music (12. 04. 2014 20:07)

Re: Důkaz platnosti nerovnice

#3 12. 04. 2014 17:54

Re: Důkaz platnosti nerovnice

#4 12. 04. 2014 18:03 — Editoval stereo-total-music (12. 04. 2014 18:08)

Re: Důkaz platnosti nerovnice

#5 12. 04. 2014 18:21

Re: Důkaz platnosti nerovnice

#6 12. 04. 2014 18:22 — Editoval Jj (12. 04. 2014 18:22) Příspěvek uživatele Jj byl skryt uživatelem Jj.

#7 13. 04. 2014 21:04

Re: Důkaz platnosti nerovnice

Zápatí