Matematické Fórum

alofokolo

Dobrý den, dívám se na některé úlohy z klokana, a s některými si nevím rady. Například tady, s úlohou 17. //forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/36332_Na%2Bmatweb.png

Zkusil jsem si za strany obdélníku dosadit vlastní neznámé (za delší 16, za kratší 12) - tak se úsečky mezi středy stran rovnaly 10 cm. Tohle, mi ale moc nepomohlo - nevím, jak se dostat k výsledku. Poradíte prosím?

byk7 · 17. 04. 2014 14:29

Jaký je podíl obsahů ABCD a PQRS?
Jaký je podíl obsahů PQRS a PQT?

Freedy · 17. 04. 2014 14:59 — Editoval Freedy (17. 04. 2014 19:22)

Ahoj,

označme si:
$A [0;0]$
$B [a;0]$
$C [a;b]$
$D [0;b]$
středy stran jsou potom:
$S_{AB} = P = [\frac{a}{2};0]$
$S_{BC} = Q =[a;\frac{b}{2}]$
$S_{CD} = R =[\frac{a}{2};b]$
$S_{AD} = S =[0;\frac{b}{2}]$
Střed úsečky RS
$S_{RS}=T=[\frac{a}{4};\frac{3b}{4}]$
Můžeme určit obsah trojúhelníku PQT pomocí vektorového součinu jeho dvou vektorů:
$S = |\frac{\vec{u}\times \vec{v}}{2}|$
$\vec{u}=Q-P = (\frac{a}{2};\frac{b}{2})$
$\vec{v}=T-P = (-\frac{a}{4};\frac{3b}{4})$
Obsah trojúhelníku tedy je:
$S_\triangle =|\frac{(\frac{a}{2};\frac{b}{2})\times (-\frac{a}{4};\frac{3b}{4})}{2}|=|\frac{(0;0;\frac{ab}{2})}{2}|=\frac{ab}{4}$
Obsah obdelníku je pochopitelně
$S_\square = ab$

Poměr těchto obsahů:
$\frac{\frac{ab}{4}}{ab}=\frac{1}{4}$

PS: analytickou geometrií jde všechno
EDIT: díky vanok, opraveno

xstudentíkx

Ahoj ↑ alofokolo:

Trochu jsem se na to podívala a napadá mě toto řešení:

Přidávám i obrázek, aby jsi to v tom lépe viděl:

Delší strana má 84 , kratší 56 (2/3 delší).

Vidíš tam 2 pravoúhlé trojúhelníky, které jsou stejně velké a jsou rozdělené v 1/3 dané strany, proto lze snadno vypočítat jejich obsah (18,666...*42= 784, aby jsi získal obsah, musíš to vydělit dvěma, ale jelikož je druhý stejný, tak ani nemá cenu to rozdělovat, můžeš si to sám ověřit).

Pak máme tu největší část trojúhelníka (PQ a střed), která má obsah (28*42)/2, což je 588.

Když toto sečteme, 784+588 = 1372 a obsah celého obdélníku je 4704, z toho je 1176 čtvrtina, náš výsledek je vyšší a to v něm není započítaná "špička", tudíž je zřejmé, že to musí být 5/16, nebo-li odpověď A

Toto je moje řešení, sice není úplné, ale k výsledku stačí. Je to spíše jednodušší postup, a proto se můžu mýlit.

byk7 · 17. 04. 2014 15:24

Podle mě -- PQRS zabírá polovinu plochy ABCD, podobně PQT zabírá polovinu plochy PQRS, proto PQT zabírá 1/4 plochy ABCD.

BakyX · 17. 04. 2014 15:38

↑ Freedy:

"PS: analytickou geometrií jde všechno"

Nejde :)

Freedy · 17. 04. 2014 15:39 — Editoval Freedy (17. 04. 2014 15:39)

↑ BakyX:
Co například?

byk7 · 17. 04. 2014 15:43

V danom pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C označme D pätu výšky z vrcholu C. Nech X je lubovoµný vnútorný bod úsečky CD. Označme K taký bod na úsečke AX, že |BK| = |BC|. Podobne označme L taký bod na úsečke BX, že |AL| = |AC|. Priesečník priamok AL a BK označme M. Dokážte, že |MK| = |ML|.

BakyX · 17. 04. 2014 15:46 — Editoval BakyX (17. 04. 2014 15:47)

↑ Freedy:

http://skmo.sk/dokument.php?id=408

Úloha 6

Alebo toto :)

Given is a quadrilateral ABCD in which we can inscribe circle. The segments AB, BC, CD and DA are the diameters of the circles o1, o2, o3 and o4, respectively. Prove that there exists a circle tangent to all of the circles o1, o2, o3 and o4.

Je toho 1000...

Freedy · 17. 04. 2014 16:51

Daný je ostroúhlý trojúhelník ABC a kružnice k jemu opsaná. Nechť l je tečna kružnice k a l_a, l_b, l_c jsou obrazy přímky l v osových souměrnostech podle přímek BC CA AB. Dokažte že kružnice opsaná trojúhelníku určenému přímkami l_a, l_b, l_c se dotýká kružnice k.

Začneme volbou bodů:
$A [0;0]$
$B[a;0]$
$C[b;c]$ kde platí: $0<b<a$ (musí být ostroúhlý)

Kružnice procházející těmito body se dá pomocí 3 bodů zjistit snadno:
$(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$
dosadíme bod A a máme:
$m^2+n^2=r^2$
dosadíme bod B a máme:
$a^2-2am+m^2+n^2=r^2$
dosadíme bod C a máme:
$b^2-2bm+m^2+c^2-2cn+n^2=r^2$
řešením těchto tří rovnic zjistíme:
$m=\frac{a}{2}$
$n=\frac{b^2-ab+c^2}{2c}$
$r^2=\frac{a^2}{4}+\frac{(b^2-ab+c^2)}{4c^2}$

Máme tedy rovnici kružnice opsané trojúhelníku ABC:
$(x-\frac{a}{2})^2+(y-\frac{b^2-ab+c^2}{2c})^2=\frac{a^2}{4}+\frac{(b^2-ab+c^2)}{4c^2}$
Tečna v bodě [x0;y0] má rovnici:
$(x-\frac{a}{2})(x_0-\frac{a}{2})+(y-\frac{b^2-ab+c^2}{2c})(y_0-\frac{b^2-ab+c^2}{2c})=\frac{a^2}{4}+\frac{(b^2-ab+c^2)}{4c^2}$
Po menších úpravách můžeme tuto rovnici upravit na tvar:
$xx_0-\frac{(x+x_0)a}{2}+yy_0-\frac{(y+y_0)(b^2-ab+c)}{2c}=0$

Nyní je potřeba udělat obrazy této přímky podle přímek AB BC AC.

Tak a nyní už by to bylo tak pracný udělat ty obrazy, že bych se do toho pustil pouze s nějakou motivací. Vyplivlo by to směsici písmen a čísel, která by na konci ukázala, že pro a,b,c z R kde 0< b < a vychází právě jeden průsečík těch dvou kružnic

vanok · 17. 04. 2014 19:12 — Editoval vanok (17. 04. 2014 19:14)

ahoj ↑ Freedy:,
Analytika je mocny nastroj, ale je citlivy na chyby.
Tak skontroluj tvoje vypocty.
Toto napr. $\vec{v}=T-P = (-\frac{a}{2};\frac{3b}{4})$

Eratosthenes · 17. 04. 2014 19:17

↑ Freedy:

Ahoj,

poněkud mi uniká, co má tvůj příklad společného se zadanou úlohou...

vanok · 17. 04. 2014 19:24

Poznamka: spravna odpoved je ↑ byk7:.
Inac jedna rychla metoda dokazu je: nech U je stred usecky PQ.
Potom sa lahko dokaze ze obsah PQT, je rovny obsahu PUTS a ten je 1/4 obsahu odlznika.
Inac velmi rychly dokaz, pre znalcov geometrie, sa mohol urobit aj na stvorci strany 1( napr.) Preco?
Kde sa najdu texty tychto zabavnych cviceni?

vanok · 17. 04. 2014 19:29

↑ Freedy:
Tvoja metoda prace je Ok.
Az na tu chybu, lebo asi si chcel ist rychlo.
A pozor, v tvojom vektorovom sucine musis pouzit 3 dim. na vsetki vektory.

Honzc · 18. 04. 2014 07:21 — Editoval Honzc (18. 04. 2014 07:28)

↑ alofokolo:
I když řešení podle ↑ byk7: je velice elegantní, tak také přispěji:
Z obrázku
//forum.matweb.cz/upload3/img/2014-04/98062_obdtroj.png
je zřejmé, že požadovaná plocha je rozdílem plochy obdélníka a součtu 4 trojúhelníků a dvou lichoběžníků, přičemž vždy 2 (černé šrafování) a 2 (červené šrafování) trojúhelníky mají stejný obsah a taktéž oba (modré šrafování) lichoběžníky mají stejný obsah.
Protože chceme znát poměr ploch a všechny plochy obsahují součin $a\cdot b$ a také plocha původního obdélníku je $a\cdot b$ stačí spočítat:
$1-(\frac{5}{16}+\frac{1}{4}+\frac{3}{16})=\frac{1}{4}$ a to je i výsledek.

Cheop · 18. 04. 2014 07:45

↑ Honzc:
Zdarec, je to skoro k neuvěření, ale přesně toto řešení jsem sem chtěl umístit i já.
Už to tedy není potřeba.

byk7 · 18. 04. 2014 10:47

Zdravím, v kategoriích Junior (1.+2.r.) a Student (3.+4.r. středních škol) je ba vyřešení 24 úloh vyhrazen časový limit 75 min. Proto i když jsou řešení Freedyho a Honzce/Cheopa správná, jsou příliš časově náročná.

↑ vanok: Např. zde.

Matematické Fórum

#1 17. 04. 2014 14:11 — Editoval alofokolo (17. 04. 2014 14:51)

Úloha na geometrii

#2 17. 04. 2014 14:29

Re: Úloha na geometrii

#3 17. 04. 2014 14:59 — Editoval Freedy (17. 04. 2014 19:22)

Re: Úloha na geometrii

#4 17. 04. 2014 15:04 — Editoval xstudentíkx (17. 04. 2014 16:33)

Re: Úloha na geometrii

#5 17. 04. 2014 15:24

Re: Úloha na geometrii

#6 17. 04. 2014 15:38

Re: Úloha na geometrii

#7 17. 04. 2014 15:39 — Editoval Freedy (17. 04. 2014 15:39)

Re: Úloha na geometrii

#8 17. 04. 2014 15:43

Re: Úloha na geometrii

#9 17. 04. 2014 15:46 — Editoval BakyX (17. 04. 2014 15:47)

Re: Úloha na geometrii

#10 17. 04. 2014 16:51

Re: Úloha na geometrii

#11 17. 04. 2014 19:12 — Editoval vanok (17. 04. 2014 19:14)

Re: Úloha na geometrii

#12 17. 04. 2014 19:17

Re: Úloha na geometrii

#13 17. 04. 2014 19:18 Příspěvek uživatele Freedy byl skryt uživatelem Freedy.

#14 17. 04. 2014 19:24

Re: Úloha na geometrii

#15 17. 04. 2014 19:29

Re: Úloha na geometrii

#16 18. 04. 2014 07:21 — Editoval Honzc (18. 04. 2014 07:28)

Re: Úloha na geometrii

#17 18. 04. 2014 07:45

Re: Úloha na geometrii

#18 18. 04. 2014 10:47

Re: Úloha na geometrii

Zápatí