Matematické Fórum

↑ byk7:
Ano, dotýkají se v tom  bodě A.

Zdravím,

poznamenala jsem si konstrukci, že přidám, až budu mít čas - odvodila jsem, že bod C pravděpodobně nemusí ležet na kružnici k2 (jinak by spolu s A tvořil průměr kružnice a sestrojujeme Thalet. kružnici, což by mohla být jen jedna specifická situace).

Kolegové ale již tuto úlohu diskutovali. (v zadání hned na úvod je překlep ohledně bodu D, potom opraveno)

Ahoj Michale,

v úloze jde vlastně o to, najít bod B na k1 tak, aby platilo následující:

"Provedu-li z bodu B rotaci o 90° vzhledem k bodu A a vzdálím-li se poté od bodu A po přímce na 5/3násobek původní vzdálenosti od bodu A, potom se nacházím na kružnici k2 (a to konkrétně v bodě, který je vrcholem D obdélníku, který chceme zkonstruovat)."

Nyní z výše uvedeného odvodíme způsob konstrukce.

1) Sestrojíme kružnici k3, která vznikne rotací kružnice k1 vzhledem k bodu A o 90°. (Všimněte si, že kružnice k3 je množina všech bodů, na které se můžeme dostat tak, že začneme na některém z bodů kružnice k1 a pak provedeme rotaci o 90° vzhledem k bodu A.)

2) Sestrojíme kružnici k4, která je obrazem kružnice k3 ve stejnolehlosti se středem A a koeficientem 5/3. (Kružnice k4 je tedy množinou bodů, na které se dostaneme z kružnice k3 tak, že se vzdálíme od bodu A po přímce na 5/3 původní vzdálenosti od bodu A.)

3) Kružnice k2 a k4 by se měly protínat ve dvou různých bodech (ale nemusí tomu tak být vždy, viz poznámka 3 níže). Jeden z nich je A, druhý označíme jako D.

4) Posuňme se nyní z bodu D po přímce k bodu A na 3/5 původní vzdálenosti od bodu A a poté proveďme rotaci vzhledem k bodu A o -90° neboli 270°. Vzhledem k předchozím krokům konstrukce se nyní opět nacházíme na kružnici k1. Bod, na kterém se nyní nacházíme, označme jako B.

5) Teď když máme zkonstruované body A, B a D, tak již není problém najít bod C.

Ještě pár poznámek:

1) Když píšu o rotacích o 90°, tak nepíšu, kterým směrem. Na tom moc nesejde, protože řešení (leč odlišná) dostaneme v obou případech.

2) Uvedená konstrukce počítá s tím, že |AB| = 5/3 |AD|. Také by šlo analogicky zkonstruovat ABCD tak, aby |AD| = 5/3 |AB|.

3) Pokud kružnice k1 a k2 nesvírají v bodě A pravý úhel, potom platí všechno, co jsem napsal výše. Pokud naopak k1 a k2 svírají pravý úhel, potom máme dvě možnosti:
a) kružnice k2 a k4 se neprotínají v jiném bodě než A a úloha nemá řešení;
b) kružnice k2 a k4 jsou totožné a máme nekonečně mnoho řešení (stačí označit jako D kterýkoliv bod na k2 různý od A a pokračovat jak uvedeno výše).

Zdraví
  vnpg