Matematické Fórum

Evil_Genius · 17. 05. 2014 12:46

Dobrý den, potřeboval bych vysvětlit pojem ''kritické body'' při řešení zobecněných Riemannových integrálů (zkráceně ZRI). Jde o to, že nechápu, proč se některé ZRI rozdělí na 2 integrály pomocí kritického bodu a ani nevím jak se takový kritický bod zjistí. Jak se zjistí ty kritické body (např. v tom prvním příkladě)?

Uvedu 2 příklady:
1. $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{2xdx}{x^{2}+1}=\int_{-\infty }^{0 }\frac{2xdx}{x^{2}+1}+\int_{0 }^{\infty }\frac{2xdx}{x^{2}+1}=\ldots$ zde je KRITICKÝM bodem 0, vůbec nevím z čeho se to vyvodilo, že 0 je kritickým bodem

2. $\int_{-\infty }^{\infty }\frac{dx}{(x^2+1)(x^2+4)}=\frac{1}{3}\int_{-\infty }^{\infty }\frac{3dx}{(x^2+1)(x^2+4)}=\frac{1}{3}\int_{-\infty }^{\infty }\frac{3+1+x^2-1-x^2}{(x^2+1)(x^2+4)}dx=\ldots$ zde prý není žádný kritický bod a integrál se řeší normálně - tzn. nemusí se rozdělit na 2 integrály

Thanks for your time

vnpg · 17. 05. 2014 14:14

Dobrý den, co jsou to kritické body, je vysvětleno např. zde: http://cs.wikibooks.org/wiki/Integrov%C … egr%C3%A1l

U toho prvního integrálu podle mě 0 není kritický bod - funkce, kterou integrujeme, je v okolí bodu 0 definovaná a navíc i spojitá. Důvodem dělení prvního integrálu pomocí bodu 0 je spíš to, že pak máme možnost použít substituci $t = x^2$ . K tomu potřebujeme, aby funkce $x \mapsto x^2 = t$ byla injektivní na každém z intervalů, přes které integrujeme.

Je ještě jeden důvod (možná ještě důležitější), proč je někdy třeba rozdělit ZRI od $-\infty$ do $\infty$ . Uvažujme funkci $f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , která je integrovatelná na každém intervalu $\mathbb{R}$ . Aby byl ZRI $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx$ dobře definovaný, je třeba, aby existovaly (a byly konečné) ZRI $\int_{-\infty}^a f(x) dx$ a $\int_{a}^\infty f(x) dx$ , kde $a \in \mathbb{R}$ je libovolně zvolené. Pokud $\int_{-\infty}^a$ a $\int_a^\infty$ existují, pak můžeme spočítat $\int_{-\infty}^\infty$ jako $\int_{-\infty}^\infty = \int_{-\infty}^a + \int_a^\infty$ (tohle se často uvádí jako definice) nebo jako $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \int_{x_n}^{y_n} f(x) dx$ , kde $(x_n)$ a $(y_n)$ jsou libovolné posloupnosti splňující $x_n \to -\infty$ a $y_n \to \infty$ pro $n \to \infty$ .

Je třeba dávat pozor na to, že limita $\lim_{n \to \infty} \int_{x_n}^{y_n} f(x) dx$ může existovat a být konečná i přesto, že $\int_{-\infty}^a$ nebo $\int_a^\infty$ neexistuje. V takovém případě ale existence (a v případě existence i hodnota) limity $\lim_{n \to \infty} \int_{x_n}^{y_n} f(x) dx$ závisí na volbě posloupností $(x_n)$ a $(y_n)$ , takže ZRI $\int_{-\infty}^\infty$ není definovaný a je chybou psát $\int_{-\infty}^\infty f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \int_{x_n}^{y_n} f(x) dx$ .

Matematické Fórum

#1 17. 05. 2014 12:46

Zobecněný Riemannuv Integral - Kritické body

#2 17. 05. 2014 14:14

Re: Zobecněný Riemannuv Integral - Kritické body

Zápatí