Matematické Fórum

Prochycz

Dobrý dopoledne,

mám následující dif. rovnici $y'=0,3\cdot y\cdot sin(t), y(0)=2$ , byla primárně určena jako příklad pro vyřešní pomocí explicitní eulerovy metody. To není problém. Rád bych to vyřešil implicitní eulerovou metodou.

Snažil jsem se vyjít podle tohoto typového příkladu:
$y'=-y\nl y(0)=1\nl y_0=1\nl y_1=y_0-\Delta t\cdot y_1\nly_1=\frac{y_0}{1+\Delta t}\nl y_{n+1}=\frac{y_n}{(1+\Delta t)}$

Takže jsem to udělal následující:
$y_0=2\nl y_1=y_0+h\cdot 0,3\cdot y_1\cdot sin(t_1)\nl y_{n+1}=y_{n}+h\cdot 0,3\cdot y_{n+1}\cdot sin(t_{n+1})\nl y_{n+1}-h\cdot 0,3 \cdot y_{n+1}\cdot sin(t_{n+1})=y_n\nl y_{n+1}=\frac{y_n}{1-h\cdot 0,3 \cdot sin(t_{n+1})}$

To znamená, že potom by měl dostat postupný průběh podle toho posledního vzorce. Zkusil jsem si to naprogramovat, abych si to ověřil podle analytického řešení, které podle WM je $y(t)=2.69972 e^{-0,3\cdot cos(t)}$ výsledek mi vychází totožně, ale pro větší časový úsek se mi to začne rozcházet, což by asi nemělo, tak jsem jen potřeboval vědět, jestli někde nedělám chybu. Začne se to rozcházet tím způsobem, že to začne utíkat do $\infty$ . Všechno záleží na volbě kroku, čím menším tím později mi to začne utíkat. Žil jsem v domění, že implicitní metoda by měla být vždy stabilní.

PS: Ještě mě napadlo, jestli nemůže bejt chyba v zaokrouhlování ale to se mi moc nezdá.

Děkuji za rady

Prochycz

Tak další věc, která mě napadla, jestli chyba není v tom, že průběh je kmitavý netlumený, tak problém je v tom, že po čase se právě projeví diskretizační+zaokrouhlovací chyba, a tím, že to kmitá, tak se to v delším časovém úseku projeví tím ujetím od analytického řešení.

--------------------
Tak už to asi neřešte, asi sem měl nakonec pravdu (což mě mile překvapilo :-)). Jelikož jsem zjistil, že WolframAlpha umí řešit úlohy také pomocí implicitního eulera, tak jsem zjistil, že ten průběh je stejný jako u mě, i stejně se to rozchází, tak chyba musí být v tom zaokrouhlování a diskretizační chybě. Zde odkaz na WM.

Matematické Fórum

#1 25. 05. 2014 11:48 — Editoval Prochycz (25. 05. 2014 21:35)

Implicitní Eulerova metoda - Příklad

#2 27. 05. 2014 20:43 — Editoval Prochycz (27. 05. 2014 21:02)

Re: Implicitní Eulerova metoda - Příklad

Zápatí