Matematické Fórum

jarrro · 08. 06. 2014 14:57

čaute pravdepodobne to bude zase jednoduché ,ale
existuje topologický priestor X ( samozrejme nediskrétny)
taký , že pre každú indexovú množinu I je funkcia
$f:X\to\prod\limits_{i\in I}{X}$
definovaná predpisom
$f{$x$}=$x$_{i\in I}$
spojitá pri boxovej topológii?
Boxová topológia je taká ktorej báza je tvorená produktami otvorených množín
zaujímavé sú najmä nekonečné indexové množiny lebo na konečných produktoch boxová topológia je to isté čo produktová topológia (generovaná vzormi projekcií teda najmenšia topológia pri ktorej sú projekcie spojité)
a pri produktovej topológii platí, že
$g:Y\to\prod\limits_{i\in I}{X_{i}}\nl g{$y$}=$g_{i}{\(y$}\)_{i\in I}\nl g_{i}:Y\to X_{i}$
je spojitá práve vtedy
keď všetky indexované gčka sú spojité

Brano · 09. 06. 2014 13:55

Napr. $X$ s antidiskretnou topologiou $\{\emptyset,X\}$ . Ak ma byt aspon $T_1$ tak musi byt diskretna.

Zvolme $I=X$ a $U_y(x)=X\setminus\{y\}$ ak $y\not=x$ a $U_x(x)=X$ . Nech $f(x)=(x,x,...)$ . Potom $V(x)=\Pi_{y\in X}U_y(x)$ je otvorene okolie $f(x)$ v box topologii. Teda ak ma byt $f$ spojite, tak $f^{-1}(V(x))=\{x\}$ musi byt otvorena mnozina pre kazde $x$ a teda topologia na $X$ musi byt diskretna.