Matematické Fórum

jafar · 11. 06. 2014 09:33

Ahoj pomůžete mi někdo s příkladem nevím si vůbec rady.

f: z= x^3+y^3-3xy na obdélníku A[0,-1], B[2,-1],C[2,2],D[0,2]

předem díky

Dopikasan · 11. 06. 2014 09:54

↑ jafar:
udělej si parciální derivace podle y a podle x... z derivace podle y si vyjádři jednu proměnou a dosad do parciální derivace podle x a měli by ti vyjít nějaké stacionární body

jafar · 11. 06. 2014 10:19

↑ Dopikasan:

je možné že mi ty stacionární body vyšly (1 , 1 )?

Dopikasan · 11. 06. 2014 11:40

↑ jafar:
Mě vyšli podezřelé stac body [0,0], [1,1]

z derivace podle y jsem si vyjádřil x=y^2 a dosadil do derivace podle x a to mi vyšlo 3y^4-3y=0 a z toho ty stac body

Xellos · 11. 06. 2014 13:29

Hladas extremy globalne, takze chces najst nejake podozrive body a vybrat maxima/minima z nich. V tomto pripade je f(x) polynom, takze podozrive body mozu byt len:

- body vnutri obdlznika, kde su parcialne derivacie nulove; vychadzaju len $x=y=0$ a $x=y=1$ , z coho len druhy lezi vnutri (toto su lokalne extremy, "stacionarne body" ako hovoril Dopikasan)

- body na hranici obdlznika (ak ju ratas do oblznika, bude funkcia na nej extremy normalne nadobudat; ak nie, tak moze mat na hranici supremum/infimum ku ktorym sa moze lubovolne priblizit); hranicu si mozes zjednodusit ako 4 priamky $x=0$ , $x=2$ , $y=-1$ , $y=2$ a pre kazdu z nich vyratat ci ma na nej $f$ dajake extremy a ked hej tak aj ci su skutocne na hranici obdlznika (spravnych useckach), vyjde $x=y=0$ , $x=2, y=\pm\sqrt{2}$ , $x=\pm\sqrt{2}, y=2$ .

- rohy obdlznika - "hranica useciek z hranice obdlznika" (tie usecky ratame ako otvorene, bez krajnych bodov)

Spolu zistime ze v podozrivom bode zvnutra je $f=-1$ , v tych z hranice je zaradom $f=0$ a 2x (zo symetrie $f$ ) $f=8\pm4\sqrt{2}$ ; v rohoch $f=-1$ , $f=13$ , $f=4$ , $f=8$ . Pozor, mozno som spravil numericke chyby, ratam to narychlo. Z toho vidime ze minimum $f$ je -1, nadobudane v 2 bodoch, a maximum je 13, nadobudane v jednom.