Matematické Fórum

1vecera · 12. 06. 2014 17:34

Vypočítejte všechny komplexní čísla pro která platí:

$z^{3}=-1$
$(z-3i)^{6}+64=0$

Děkuji,
Daniel

Bati · 12. 06. 2014 19:33

Ahoj ↑ 1vecera:,
můžeš to řešit mechanicky - tj. vyřešit jednu rovnici (viz binomická rovnice) a zjistit jestli existují řešení, která vyhovují i druhé rovnici.

Lze to ale udělat mnohem snadněji. Jestliže ty rovnice, co jsi napsal, platí pro nějaká $z\in\mathbb{C}$ , pak pro tato $z$ jistě platí i tyto rovnice:
$|z|^3=1$
$|z-3i|^6=64$
(vlastně jsem porovnal abs. hodnoty levých a pravých stran). Potom, protože abs. hodnota je nezáporná, platí

$|z|=1$
$|z-3i|=2$
To jsou rovnice kružnic v komplexní rovině. Snadno nahlédneme, že mají jediný společný bod (dotyku), a sice $i$ . Ovšem řešení $z=i$ nesplňuje první zadanou rovnici ( $i^3=-i\neq -1$ ). Z uvedeného plyne, že zadané rovnice nemají v $\mathbb{C}$ řešení.

Matematické Fórum

#1 12. 06. 2014 17:34

Hledání všech komplexních čísel

#2 12. 06. 2014 19:33

Re: Hledání všech komplexních čísel

Zápatí