Matematické Fórum

Tassdar · 13. 06. 2014 15:36

Zdravim, potřebuju pomoct s příkladem.
$\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{4x-y-3}{(1+2x-3y)^2}$

chci se blížit po přímce
$y-y_{0}=k(x-x_{0})$
$y-1=k(x-1)$
$y=k(x-1)+1$

dosadím do limity a spočtu

$\lim_{x\to1}\frac{4x-k(x-1)-4}{(2x-3k(x-1)-2)^2}$

co teď s tím? vidím, že kdybych ten vršek nějak odmocnil, dostanu ten spodek až na ten prostřední člen, nebo mám ten spodek roznásobit? to se ale nezdá, musi to jít nějak zkrátit...

Rumburak

↑ Tassdar:

Ahoj. Tkus to upravit tak, aby se zlomek dal vykrátit dvojčlenem (x-1)
a to také případně udělej. Tím se situace projasní.

OndrasV · 13. 06. 2014 16:31

↑ Tassdar: Protože limita čitatele i jmenovatele je v x=1 nula, ta můžeš použít L Hospitalovo pravidlo, tj. zderivovat zvlášť čitatel a jmenovatel dle x a spočítat limitu.

Tassdar · 13. 06. 2014 16:56

Rumburak: Děkuju, proč mě to nenapadlo :) Po upravení mi vyšlo
$\lim_{x\to1} \frac{4-k}{(x-1)(2-3k)^2}$

OndrasV taky děkuju, přes L Hospitalovo pravidlo mi vyšlo skoro to samé
$\lim_{x\to1} \frac{4-k}{(2x-2)(2-3k)^2}$

mám funkci v tom bodě dodefinovat, nebo co se v tomto případě dál dělá?

OndrasV · 13. 06. 2014 17:09

↑ Tassdar: Limita závisí na k, takže pův. limita neexistuje.

Tassdar · 13. 06. 2014 17:13

↑ OndrasV:
Aha, dobrá tedy. Děkuju ti.

Rumburak

↑ Tassdar:

Dodefinovat se nic nemusí. Prostě se vyšetří ty limity v závislosti na parametru $k$ .
Budou 3 kvalitativně různé případy:

I. $k = 4$ ,

II. $k = 2/3$ ,

III. ostatní.

Mimochodem: Co můžeme usoudit z faktu, že l'Hosptalovo pravidlo nedalo ZCELA TENTÝŽ výsledek
jako metoda s vykrácením zlomku ?

Dopikasan · 13. 06. 2014 19:33

↑ Tassdar:
já to dělám tak že udělám limitu podle x a pak podle y a když se nerovnají tak neexistuje tzn
$\lim_{(x)\to(1)}\frac{4x-3}{(1+2x)^2}$ = $\frac{1}{9}$
$\lim_{(y)\to(1)}\frac{-y-3}{(1-3y)^2}$ = $\frac{-4}{4}$

výsledky se nerovnají tak limita neexistuje

Tassdar · 13. 06. 2014 20:59

↑ Rumburak:
Takže tam dosadím ty $k$ které jsi napsal a spočtu limitu?
Myslel jsem, že se zbavím $x$ a pak se jen podívám, jestli výsledek závisí na $k$ .
Co znamená, že nám l'Hosptalovo pravidlo nedalo ten samí výsledek? No možná to už naznačuje, že limita neexistuje?

↑ Dopikasan:
To mohu, prostě ignorovat y a pak x? Já myslel, že se jeden dosadí a pak se počítá limita z druhého. Tzn. dosadim x a pak počítám limitu z y->1. Ale asi máš pravdu, vychází to.

Dopikasan · 13. 06. 2014 22:09

↑ Tassdar:
já to tak dělám,ale at to schválí místní odborníci radši(abych ti neřekl blbost), ale jestli to schválí tak je to nejjednoduší cesta kde se skoro nemůžeš splést

Rumburak · 16. 06. 2014 10:05

↑ Tassdar:

chci se blížit po přímce
$y-y_{0}=k(x-x_{0})$

Z tohoto předpoladu stále vycházím.

Počítáme tedy
$L(k) := \lim_{x\to1} \frac{4-k}{(x-1)(2-3k)^2}$ .

Pro $k = 4$ vyjde $L(4) := \lim_{x\to1} \frac{0}{(x-1)(-10)^2} = 0$ ,
pro $k = 2/3$ nemé $L(k)$ smysl (dělení nulou) ,

v ostatních případech se nevlastní limity zprava a zleva liší znaménkem.

Co z toho plyne pro dvojnou limitu $\lim_{(x,y)\to(1,1)}\frac{4x-y-3}{(1+2x-3y)^2}$ ?

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2014 15:36

Limita více proměnných

#2 13. 06. 2014 16:25 — Editoval Rumburak (13. 06. 2014 16:45)

Re: Limita více proměnných

#3 13. 06. 2014 16:31

Re: Limita více proměnných

#4 13. 06. 2014 16:56

Re: Limita více proměnných

#5 13. 06. 2014 17:09

Re: Limita více proměnných

#6 13. 06. 2014 17:13

Re: Limita více proměnných

#7 13. 06. 2014 17:25 — Editoval Rumburak (13. 06. 2014 17:26)

Re: Limita více proměnných

#8 13. 06. 2014 19:33

Re: Limita více proměnných

#9 13. 06. 2014 20:59

Re: Limita více proměnných

#10 13. 06. 2014 22:09

Re: Limita více proměnných

#11 16. 06. 2014 10:05

Re: Limita více proměnných

Zápatí