Matematické Fórum

Brzls · 04. 07. 2014 14:06 — Editoval Brzls (04. 07. 2014 14:07)

Zdravím

V rámci jedné úlohy se objevil vztah, který bych si rád sám odvodil, bohužel se o to zatím pokouším bez úspěchu.

Jestliže máme posloupnost zadanou rekurentním vztahem
$a_{k+1}=\alpha \cdot a_{k}+\beta$
kde alfa a beta jsou známá reálná čísla, a dále víme, že $a_{0}=1$
pak platí, že
$a_{n}=\alpha ^{n}+\beta \frac{\alpha ^{n}-1}{\alpha -1}$
A právě toto bych chtěl dokázat.

Napadlo mě určit generující funkci, jenže nevím, jestli na to jdu správně
Vynásobením té rovnice vyjadřující rekurentní vztah vhodnou mocninou x dostanu
$x^{k+1}a_{k+1}=(\alpha x)x^{k}a_{k}+x^{k+1}\beta$

Součtem těchto rovnic pro všechna k dostanu (je tento krok vůbec korektní? A jestli ano tak za jakých podmínek?)

$\sum_{k=0}^{\infty }x^{k+1}a_{k+1}=\alpha x\sum_{k=0}^{\infty }x^{k}a_{k}+\beta \sum_{k=0}^{\infty }x^{k+1}$
Z definice generující funkce a úpravou rovnice dostanu
$f(x)-a_{0}=\alpha xf(x)+\frac{\beta x}{1-x}$
Dosazením za a0 a vyjádřením f(x) dostanu

$f(x)=\frac{1-x(\beta -1)}{(1-\alpha x)(1-x)}$

Je to správně??

A jestli ano, tak jak co nejrychleji provést rozvoj funkce f do mocninné řady?
Nebo jde celá úloha řešit nějak rychleji či elegantněji?
Děkuji za odpověď

jarrro · 04. 07. 2014 14:55

najjednoduchšie ako to odvodiť je podľa mňa vyriešiť tú rekurenciu. všeobecné riešenie je
$c\cdot\alpha^n+\frac{\beta}{1-\alpha}$ keď sa dosadí počitočná podmienka tak
$c+\frac{\beta}{1-\alpha}=a_0\nl c=a_0+\frac{\beta}{\alpha -1}$
teda riešenie je
$a_0\alpha^n+\frac{\beta$\alpha^n-1$}{\alpha-1}$
alebo
indukciou
a_0=1 je pravda a
$\alpha\cdot$\alpha^n+\beta\cdot\frac{\alpha^n-1}{\alpha -1}$+\beta=\alpha^{n+1}+\beta\cdot$\frac{\alpha^{n+1}-\alpha}{\alpha -1}+1$=\nl =\alpha^{n+1}+\beta\cdot\frac{\alpha^{n+1}-1}{\alpha -1}$

Brzls · 04. 07. 2014 15:07

↑ jarrro:

A co přesně si mám představit pod "vyřešit rekurenci"? Já s tím osobně moc zkušeností nemám, odkud se vzalo to obecné řešení?

jarrro · 04. 07. 2014 15:27

↑ Brzls:tak je to lineárna diferenčná rovnica s konštantnými koeficientami

Brzls · 04. 07. 2014 17:42

↑ jarrro:
Ok, jak říkám na toto téma nic nevím, něco o tom přečtu a kdyžtak dám vědět kdybych měl ještě nějaký problém. Děkuji za pomoc.

Eratosthenes · 07. 07. 2014 23:27

ahoj ↑ Brzls:,

pokud o diferenčních rovnicích nic nevíš, zkusil bych spíš matematickou indukci - to by mělo být docela jednoduché.

vanok · 08. 07. 2014 10:58 — Editoval vanok (08. 07. 2014 11:24)

Poznamka:
Taketo postupnosti sa casto vidia uz na strednej skole. ( ako sa vyvijaju osnovy neviem...)
Tu mas postup studia takej situacie
http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Suite_ar … éométrique
Pouzi slovnik, ak treba.

Édit.
Tvoje cvicenie mozes riesit aj takto!
Prvy pripad:
$\alpha =1$ , vtedy tvoja postupnost je aritmeticka.
Druhy pripad:
$\alpha \ne 1$ ,
Vtedy mozes nast pevny bod p, tvojej postupnosti vdaka
$p=\alpha .p + \beta$ .
Naviac, odcitanim poslednej rovnosti od
$a_{k+1}=\alpha \cdot a_{k}+\beta$ , dostanes
$a_{k+1}-p=\alpha \cdot (a_{k}-p)$ ,
Polozenim $b_{k}= a_k-p$ , mozes konstatovat,ze $b_k$ je geometricka postupnost, ktoru lahko vysetris.

Poznamka: takto vidis, preco dana postupnost sa casto vola aritmeticko-geometricka.

Marian · 08. 07. 2014 15:27

↑ Brzls:

Znám ještě jiné řešení, poměrně elementární, i když souvisí s diferenčním počtem, ale nedám to při řešení najevo, takže nepředpokládám žádné speciální zanlosti. Budu mít čas ale až zítra.

Brzls · 08. 07. 2014 20:42 — Editoval Brzls (08. 07. 2014 20:50)

↑ Eratosthenes:
Což to mě taky napadlo, já si jen chtěl zkusit, jestli bych danou úlohu vyřešil i kdybych neměl zadanou tu pomůcku, a že by mě ten vztah jen tak napadnul abych ho mohl dokázat indukcí to asi ne. (generující funkce se zase využila u jiné fyz. úlohy tak sem to na to ze zoufalosti zkusil namontovat i na tuto)
Bohužel nevyřešil. Jednalo se o fyzikální úlohu - n koulí na sobě, jejich hmotnosti tvoří geometrickou posloupnost - jestliže dopadnou na zem, jakou rychlost bude mít n-tá koule po odrazu. Uvádím to hlavně proto, že jak teď koukám tak se tato posloupnost objevuje i v poslední úloze MO z domácího kola kategorie A (tam je ale otázka jiná), tak doufám že mi nikdo téma nezamkne.

↑ vanok:
Nějakej ten základ francouzštiny mám, kupodivu to celkem stačilo :)
Pěkné řešení děkuji

↑ Marian:
Předem děkuji

Marian · 09. 07. 2014 13:43

↑ Brzls:

1. Pro $\alpha =0$ se nejedná o rekurentní vztah; tuto triviální volbu tedy z našich úvah vypustíme.

2. Nechť je nyní $\alpha\neq 1$ (při zohlednění předchozího bodu). Potom můžeme daný rekurentní vztah psát ve tvaru

Nyní drobnou reorganizací a přidáním sumačního znaku s vhodným sumačním rozsahem získáme ihned

Levá strana se dá triviálně sečíst, zatímco pravá strana reprezentuje součet členů geometrické posloupnosti. Tedy umíme ji sečíst také, odkud vyplývá

Odtud snadnou úpravou dostáváme při použití počáteční podmínky $a_0=1$ explicitní předpis vyhovující rekurentně zadané posloupnosti:

což již souhlasí s avizovaným obecným tvarem uvedeným v diskusi výše.

3. Pro $\alpha =1$ je možno postupovat bez využití vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti uvedeného výše. Podrobnosti v případě potřeby vysvětlím, ale nemyslím si, že je bude potřeba.

Poznámka. Podobně je možno řešit i obecnější rekurence, kdy konstantní člen $\beta$ může být nahrazen obecným $f(n)$ . Výsledek řešení však často nelze psát bez použití sumačního znaku a znaku pro součin.