Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.
Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.
Nejste přihlášen(a). Přihlásit
Stránky: 1
Zdravím
V rámci jedné úlohy se objevil vztah, který bych si rád sám odvodil, bohužel se o to zatím pokouším bez úspěchu.
Jestliže máme posloupnost zadanou rekurentním vztahem
kde alfa a beta jsou známá reálná čísla, a dále víme, že
pak platí, že
A právě toto bych chtěl dokázat.
Napadlo mě určit generující funkci, jenže nevím, jestli na to jdu správně
Vynásobením té rovnice vyjadřující rekurentní vztah vhodnou mocninou x dostanu
Součtem těchto rovnic pro všechna k dostanu (je tento krok vůbec korektní? A jestli ano tak za jakých podmínek?)
Z definice generující funkce a úpravou rovnice dostanu
Dosazením za a0 a vyjádřením f(x) dostanu
Je to správně??
A jestli ano, tak jak co nejrychleji provést rozvoj funkce f do mocninné řady?
Nebo jde celá úloha řešit nějak rychleji či elegantněji?
Děkuji za odpověď
Offline
najjednoduchšie ako to odvodiť je podľa mňa vyriešiť tú rekurenciu. všeobecné riešenie je
keď sa dosadí počitočná podmienka tak
teda riešenie je
alebo
indukciou
a_0=1 je pravda a
Offline
ahoj ↑ Brzls:,
pokud o diferenčních rovnicích nic nevíš, zkusil bych spíš matematickou indukci - to by mělo být docela jednoduché.
Offline
Poznamka:
Taketo postupnosti sa casto vidia uz na strednej skole. ( ako sa vyvijaju osnovy neviem...)
Tu mas postup studia takej situacie
http://fr.m.wikipedia.org/wiki/Suite_ar … éométrique
Pouzi slovnik, ak treba.
Édit.
Tvoje cvicenie mozes riesit aj takto!
Prvy pripad:
, vtedy tvoja postupnost je aritmeticka.
Druhy pripad:
,
Vtedy mozes nast pevny bod p, tvojej postupnosti vdaka
.
Naviac, odcitanim poslednej rovnosti od
, dostanes
,
Polozenim , mozes konstatovat,ze je geometricka postupnost, ktoru lahko vysetris.
Poznamka: takto vidis, preco dana postupnost sa casto vola aritmeticko-geometricka.
Offline
↑ Brzls:
Znám ještě jiné řešení, poměrně elementární, i když souvisí s diferenčním počtem, ale nedám to při řešení najevo, takže nepředpokládám žádné speciální zanlosti. Budu mít čas ale až zítra.
Offline
↑ Eratosthenes:
Což to mě taky napadlo, já si jen chtěl zkusit, jestli bych danou úlohu vyřešil i kdybych neměl zadanou tu pomůcku, a že by mě ten vztah jen tak napadnul abych ho mohl dokázat indukcí to asi ne. (generující funkce se zase využila u jiné fyz. úlohy tak sem to na to ze zoufalosti zkusil namontovat i na tuto)
Bohužel nevyřešil. Jednalo se o fyzikální úlohu - n koulí na sobě, jejich hmotnosti tvoří geometrickou posloupnost - jestliže dopadnou na zem, jakou rychlost bude mít n-tá koule po odrazu. Uvádím to hlavně proto, že jak teď koukám tak se tato posloupnost objevuje i v poslední úloze MO z domácího kola kategorie A (tam je ale otázka jiná), tak doufám že mi nikdo téma nezamkne.
↑ vanok:
Nějakej ten základ francouzštiny mám, kupodivu to celkem stačilo :)
Pěkné řešení děkuji
↑ Marian:
Předem děkuji
Offline
↑ Brzls:
1. Pro se nejedná o rekurentní vztah; tuto triviální volbu tedy z našich úvah vypustíme.
2. Nechť je nyní (při zohlednění předchozího bodu). Potom můžeme daný rekurentní vztah psát ve tvaru
Nyní drobnou reorganizací a přidáním sumačního znaku s vhodným sumačním rozsahem získáme ihned
Levá strana se dá triviálně sečíst, zatímco pravá strana reprezentuje součet členů geometrické posloupnosti. Tedy umíme ji sečíst také, odkud vyplývá
Odtud snadnou úpravou dostáváme při použití počáteční podmínky explicitní předpis vyhovující rekurentně zadané posloupnosti:
což již souhlasí s avizovaným obecným tvarem uvedeným v diskusi výše.
3. Pro je možno postupovat bez využití vzorce pro součet členů geometrické posloupnosti uvedeného výše. Podrobnosti v případě potřeby vysvětlím, ale nemyslím si, že je bude potřeba.
Poznámka. Podobně je možno řešit i obecnější rekurence, kdy konstantní člen může být nahrazen obecným . Výsledek řešení však často nelze psát bez použití sumačního znaku a znaku pro součin.
Offline
Stránky: 1