Matematické Fórum

mart1nka · 09. 08. 2014 10:50

Ahoj, potřebovala bych pomoct s postupem v následujících dvou příkladech:
1.
Užitím konformního zobrazení $f(z)=\frac{1}{z}$ najděte řešení $\phi = \phi (x,y)$ následující okrajové úlohy
$\frac{\delta ^2 \phi}{\delta x^2} + \frac{\delta ^2\phi}{\delta y^2}=0$ pro $(x,y)\in\Omega$ ,
$\phi(x,y)=30$ pro $(x,y)\in\delta\Omega_1$ ,
$\phi(x,y)=40$ pro $(x,y)\in\delta\Omega_2$ ,
kde $\Omega = {z\in\mathbb{C}: |z+1|>1, Re z <0}$ ,
$\delta\Omega_1 = {z\in\mathbb{C}: Re z =0, z\neq 0}$ ,
$\delta\Omega_2 = {z\in\mathbb{C}: |z+1|=1, z\neq 0}$ .
Načrtněte několik vrstevnic nalezeného řešení $\phi = \phi(x,y)$ . (Za omegama mají být množinové závorky, nevím, proč se nezobrazují.)

2.
Užitím lineární lomené transformace najděte řešení $\phi = \phi (x,y)$ následující okrajové úlohy
$\frac{\delta ^2 \phi}{\delta x^2} + \frac{\delta ^2\phi}{\delta y^2}=0$ pro $(x,y)\in\Omega$ ,
$\phi(x,y)=-10$ pro $(x,y)\in\delta\Omega_1$ ,
$\phi(x,y)=20$ pro $(x,y)\in\delta\Omega_2$ ,
kde $\Omega = {z\in\mathbb{C}: |z|<1, |z-\frac{1}{2}|>\frac{1}{2}}$ ,
$\delta\Omega_1 = {z\in\mathbb{C}: |z| =1, z\neq 1}$ ,
$\delta\Omega_2 = {z\in\mathbb{C}: |z-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2}, z\neq 1}$ .
Načrtněte několik vrstevnic nalezeného řešení $\phi = \phi(x,y)$ . (Za omegama mají být množinové závorky, nevím, proč se nezobrazují.)
Děkuji za reakce!

Brano · 16. 08. 2014 13:07

tak k 1)

riesenie rovnice $\triangle\phi=0$ je v podstate ekvivalentne tomu, ze hladas holomorfnu funkciu v tvare $g(z)=\phi(x,y)+i\cdot\psi(x,y)$ kde $\phi$ splna pozadovane okrajove podmioenky.

O $f(z)=1/z$ platia taketo pekne veci. a) je to holomorfna transformacia b) je to zlozenie kruznicovej inverzie (jednotkovej kruznice) a zrkadlenia okolo realnej osi, takze sa lahko nahliadne, ze $f(\partial\Omega_1)=\Omega_1$ t.j. zvisla priamka cez bod $0$ a $f(\partial\Omega_2)$ je zvisla priamka cez bod $-1/2$ .

Teda hladas $g(z)$ v tvare $g(z)=h(1/z)$ kde $h(z)$ je holomorfna na pasiku medzi tymi priamkami a splna dane okrajove podmienky, inymi slovami ak $h(z)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)$ tak riesis $\triangle u=0$ s tym, ze $u(0,y)=30$ a $u(-1/2,y)=40$ - co sa aj lahko uhadne, lebo rieseniami Poissonovej rovnice su napr. linearne funkcie a tie lahko nasijes na dane okrajove pomienky t.j. dostanes $u=30-20x$ . To mozes teraz dosadit do Cauchy-Riemannovych vztahov a dostanes $v$ cize ked to potom spojis, tak mas $h(z)=30-20z+i\cdot C$ , C je lubovolna realna konstanta.

Cize potom mas $g(z)=30-\frac{20}{z}+i\cdot C$ a teda $\phi(x,y)=Re(g)=30-\frac{20x}{x^2+y^2}$ .

v 2) tak podobne - treba si nakreslit tie hranice a zistis, ze kroznicova inverzia s kruznicou v strede $1$ a polomerom jedna by bola fajn a tak uvazuj $f=\frac{1}{z-1}$ .

mart1nka · 22. 08. 2014 08:12

↑ Brano: Ahoj, promin, ze reaguju az ted, spadlo mi to do spamu... Mohl bys mi prosim pomoct s tou kruhovou inverzi? Jak si ji mam predstavit? Konkretne jak se kruznice o polomeru 1 se stredem v -1 zmeni na primku prochazejici bodem -1/2?

Brano · 22. 08. 2014 16:32 — Editoval Brano (22. 08. 2014 18:48)

nejake zakladne info najdes tu: http://en.wikipedia.org/wiki/Inversive_ … _inversion

v podstate ide o to, ze mas nejaku fixovanu kruznicu ktora urcuje zobrazenie z roviny do roviny, co sa vola inverzia - pravidla ako sa to robi najdes v tom odkaze. Inverzia sa to vola preto, lebo zobrazi vnutro kruhu na vonkajsok a naopak.

Je to ale pomerne pekne zobrazenie, lebo
1) je inverzne samo sebe, t.j. ked ho zlozis so sebou mas identitu
2) zobrazuje kruznice-alebo-priamky na kruznice-alebo-priamky.
3) ta definicna kruznica pozostava z bodov co sa zobrazia samy na seba
4) stred inverzie zobrazi na "bod nekonecno"

teda kuznicu prechadzajucu stredom inverzie zobrazi na priamku a ked chces zistit aku, tak staci najst nejake dva body ktore na nej musia byt - co v tom pripade na ktory sa pytas je jednoduche, lebo mozes zobrat tie body prieniku - tie musia ostat zachovane

no a v komplexnych cislach sa s nou robi jednoducho: inverzia voci kruznici so stredom v 0 a polomerom 1 ma predpis $w=\frac{1}{\overline z}$ ak chces trebars stred $z_0$ a polomer $R$ tak sa to da vyskladat z tejto zakladnej inverzie a posuvania a skalovania - konkretne to je $w=\frac{R^2}{\overline{z-z_0}}+z_0$

cize funkcia $f=\frac{1}{z}$ je zlozenie invezie a komplexneho zdruzenia, co je iba zrkadlenie voci realnej osi.

Matematické Fórum

#1 09. 08. 2014 10:50

komplexní analýza - konformní zobrazení, lineární lomená transformace

#2 16. 08. 2014 13:07

Re: komplexní analýza - konformní zobrazení, lineární lomená transformace

#3 22. 08. 2014 08:12

Re: komplexní analýza - konformní zobrazení, lineární lomená transformace

#4 22. 08. 2014 16:32 — Editoval Brano (22. 08. 2014 18:48)

Re: komplexní analýza - konformní zobrazení, lineární lomená transformace

Zápatí