Matematické Fórum

kafe_arabica · 14. 08. 2014 10:15

Ahoj.

Potreboval by som skontrolovať môj postup.
V príklade ide o to, aby som k danej fukncii f našiel jej taylorov rozvoj a určil či konverguje ku funkcii + polomer konvergencie.

$f(x)=1+\frac{a}{(x-1)^k}=1+a(x-1)^{-k}$ , kde $a,k>0$ a $2>x>1$ .
Taylorov rozvoj funkcie f v bode b rádu n je:
$T_n(f,b)=1+\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^ja(b-1)^{-k-j}}{j!}\frac{(k+j-1)!}{(k-1)!}(x-b)^j$ , kde výraz
$\frac{(k+j-1)!}{(k-1)!}$ je definovaný nasledovne:
j=0 => 1
j=1 => k
j=2 => k(k+1)
j=3 => k(k+1)(k+2) etc.

Ku zisteniu či tento rozvoj pre $n\to\infty$ konverguje ku f, musím ukázať, že pre zvyšok (volím lagrangeov tvar) platí:
$\lim_{j\to\infty}\frac{(-1)^ja(\theta-1)^{-k-j}}{j!}\frac{(k+j-1)!}{(k-1)!}(x-b)^j=0$ , pre theta z (1,2).
Teda môžem vyhodiť z tej limity konštanty, konkrétne $a(\theta-1)^{-k}$ .
Dostanem $\lim_{j\to\infty}\frac{(-1)^j}{j!}\frac{(k+j-1)!}{(k-1)!}\frac{(x-b)^j}{(\theta-1)^j}$ .

Ďalej si zadefinujem j-ty čiastočný súčet $S_j(x)=\frac{(-1)^j}{j!}\frac{(k+j-1)!}{(k-1)!}\frac{(x-b)^j}{(\theta-1)^j}$ . Ak ukážem, že tieto čiastočné súčty konvergujú pre nejaké x, potom to musí znamenať pre tú limitu, že pre tieto x je nulová.

Preznačme, $z:=\frac{(x-b)}{(\theta-1)}$ , potom $S_j(x)=\frac{(-1)^jz^j}{j!}\frac{(k+j-1)!}{(k-1)!}$ a podielovým kritériom dostaneme:
$\left|\frac{S_{j+1}(x)}{S_j(x)}\right|=\frac{j!|z|^j(k+1)...(k+j)(k+j+1)}{(j+1)!|z|^j(k+1)...(k+j)}=\frac{|z|(k+j+1)}{j+1}\to |z|$ .
Pre konvergenciu: -1<z<1, $-1<\frac{x-b}{\theta-1}<1,$
$-(\theta-1)<x-b<\theta-1$ .
Tzn., že existuje okolie bodu b, kde to konverguje, a teda ta limita je na tom okolí nulová.
Keďže bod b bol ľubovoľný, tak to platí pre všetky $x\in(1,2)$ .

Záver, postupnosť čiastočných súčtov taylorovho rozvoja funkcie f v bode b konverguje pre $x\in(1,2)$ .
Je to správne? Ďakujem.

Matematické Fórum

#1 14. 08. 2014 10:15

konvergencia taylorovho radu

Zápatí