Matematické Fórum

vanok · 14. 08. 2014 16:10

Dalsie cvicenie
Nech $P \in\mathbb{K} [X]$ , kde $\mathbb{K}$ je komutativne teleso.
Dokazte, ze $P(X)-X$ deli $P(P(X))-X$

check_drummer · 15. 08. 2014 21:50

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

vanok · 15. 08. 2014 22:38

Ahoj ↑ check_drummer:,
Tvoj dokaz plati v algebrickych uzavretych telesach.... Ale mozes to dokazat aj v inych pripadoch?

vanok · 16. 08. 2014 12:45

Cesta k jednemu dokazu:
Mozte poznamenat ze
$P(P(X))-X=P(P(X))-P(X)+P(X)-X$ ...

Pozor na oznacenia $P(X)$ oznacuje polynom,
a $P(x)$ oznacuje hodnotu asociovanej polynomialnej funkcie
$x \mapsto P(x)$ k polynomu $P(X)$ .

vanok · 18. 08. 2014 12:58 — Editoval vanok (18. 08. 2014 13:01)

Dam aj koniec tohto dokazu, akoze algebristi su asi na prazdninach.
Je jasne ze staci dokazat ze
$P(X)-X$ deli $P(P(X))-P(X)$ .
Ak $P$ je nenulovy mozme pisat $P(x)=a_0+a_1X+...+a_nX^n$ kde $a_n \neq 0$ a tak
$P(P(X))-P(X)=\sum_{i=0}^{n}a_i (P^i(X)-X^i)\sum_{i=1}^{n}a_i (P^i(X)-X^i )$
Pre $i=1,...,n$ je lahke ukazat, ze $P(X))-X$ deli $P^i(X)-X^i$ .
To da $P(X)-X$ deli $P(P(X))-X$ .

A toto ukoncuje dokaz.