Matematické Fórum

Skrytý text:
Kolik má soustava stupňů volnosti? Zkus vybrat vhodný parametr na popis pohybu a napsat ZZE. Tím dostaneš velikost okamžité posuvné rychlosti v závislosti na poloze a počáteční rychlosti...
Pro kontrolu ještě můžu dodat že to vyjde opravdu nečekaně pěkně

Skrytý text:
Většina úprav je čistě elementární, proto sem postupně napíšu jenom stěžejní vztahy
Těleso má pouze jeden stupeň volnosti, zkusíme vyjádřit energii jenom pomocí úhlu fí (ten je shodný s tvojí alfou).

Víme, že kinetická energie se dá rozložit na součet translačního pohybu těžiště a rotaci kolem těžiště.

Nechť I je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k těžišti. Pak

Kde omega je pochopitelně úhlová rychlost
Co se týče translačního pohybu:
Nechce se mi kreslit obrázek, tak místo skládání vektorů radši naznačím derivace:
r je vzdálenost těžiště od středu



Kde v je právě posuvná rychlost středu válce (resp dx/dt) a k je

Nyní můžeme usoudit, že (a to i přesto, že uvažujeme rotaci kolem těžiště, a kdybych se v tomto mýlil, tak jakmile o pár řádků dále přidáme požadavek konstantní rychlosti tak už to pravda bude určitě)

ZZE pak po úpravě dá



To vypadá celkem hnusně, ale vidíme, že rychlost závisí na poloze, což je jasně spor. Všimneme si, že se vůči výrazu cos(fí)  jedná o lomenou funkci, a pokud funkce má být konstantní pak nutně platí
(jinak řečeno jmenovatel je násobkem čitatele, a kdo nevěří může použít obecnější postup a použít derivaci)

To znamená, že tedy

To že to opravdu zaručí konstantnost rychlosti a navíc rovnou už ve výrazu použitém v0 se můžeme přesvědčit zkouškou, ale není to potřeba.
To že z nezávisloti na poloze plyne nezávislost na čase taky považuji za zřejmé
Mě se právě líbějí úlohy kde je potřeba vhodnou volbou velikosti veličiny vyloučit závislost na jiné veličině.