Matematické Fórum

Blizzy · 05. 04. 2009 22:44

Řešte rovnici v R:
$1+\sin x + \frac {3}{4}\sin^2 x + \frac {4}{8}\sin^3 x + \ldots = \frac {16}{9}$

Mělo by se to dát rozložit na dvě řady, ale nepřišel jsem na jaké, není to součet ani geometrické ani aritmetické posloupnosti a tak na to neplatí vzorce. Máte někdo nějaký nápad, jak to řešit?

gadgetka · 05. 04. 2009 23:17

v tomto oboru už zdatná nejsem, ale když sčítáš zvlášť $1+\frac{3}{4}+\frac{4}{8}$ , jedná se o aritmetickou posloupnost, kde $d=-\frac{1}{4}$ , a při součtu $\sin x+\sin^2 x+\sin^3 x$ se jedná o geometrickou posloupnost, kde $q=\sin x$

halogan · 05. 04. 2009 23:26

↑ gadgetka:

Tak to není. Ty koeficienty u sinu nejsou aritmetická posloupnost. Je to $k = \frac{n+1}{2^n}$ , kde n Z+. Pak sinus je $sin^n x$

lukaszh

Neviem, čo toto je ešte stredoškolská úloha, ale podľa mňa nie. Takže takto:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^{n-1}}(\sin x)^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot$\frac{\sin x}{2}$^{n-1}=\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot r^{n-1}=\frac{1}{r}\cdot\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot r^{n}$
pričom
$-1\leq\sin x\leq 1\Rightarrow -\frac{1}{2}\le\frac{\sin x}{2}\le\frac{1}{2}$
Kvocient geometrickej časti je v absolútnej hodnote menší ako 1, odkiaľ vyplýva konvergencia. Pri predposlednom kroku som zvolil substitúciu aby som nemusel vypisovať všade ten predelený sínus. Súčet tohto radu sa zistí takto:
$s(n)=r+2r^2+3r^3+4r^4+\cdots+n\cdot r^n\nlr\cdot s(n)=r^2+2r^3+3r^4+4r^5+\cdots+n\cdot r^{n+1}\nl$
Teraz tieto rady odčítam

Teraz spravím limitu čiastočného n-tého súčtu za predpokladu $|r|<1$ :

Teraz si to skús už zhlobiť s tvojou rovnicou a nezabudni na úvodnú substitúciu.

jelena · 06. 04. 2009 00:09

Zdravim vas :-)

co si myslite o této úpravě - nemám tam nějaký úlet?

$1+\frac{1}{2}\sin x +\frac{1}{2}\sin x + \frac {1}{2}\sin^2 x +\frac {1}{4}\sin^2 x+ \frac {1}{2}\sin^3 x + \ldots = \frac {16}{9}$

prvni rada (1. 3. 5. členy) a q=1/2 * sinx

druha (2, 4, 6) q = sin x

děkuji za odezvu :-)

Cheop · 06. 04. 2009 10:03 — Editoval Cheop (06. 04. 2009 10:16)

↑ jelena:
Zdravím:-)
Zdá se, že by to tak mohlo být.
Pokud jsem to dobře spočítal tak:
$\sin\,x\,\approx\,0,48016566$

Pro prvních 16 členů je součet $S_n\approx\,1,76438$ a pořád se to s dalším členem blíží k požadovaným $\frac{16}{9}=1,777777777777$

Rumburak · 06. 04. 2009 10:12

↑ jelena: Ahoj, mám dojem, že bys mohla mít pravdu, pokud by v originální řadě byl místo členu (4/8) * (sin x)^3
člen (5/8) * (sin x)^3 .

lukaszh · 06. 04. 2009 10:28

↑ Rumburak:
Myslíš, že by sa to dalo nejako rozdeliť? Ja to tam veľmi nevidím na nejaký rozklad.

Rumburak · 06. 04. 2009 11:05

↑ lukaszh:
O rozkladu originální řady jsem neuvažoval, reagoval jsem jen na rozklad, který navrhla Jelena. Součet obou těchto rozkladových řad dává například

(1/2) * (sin x)^3 + (1/8) * (sin x)^3 = (5/8) * (sin x)^3 ,

zatímco v originální řadě je (4/8) * (sin x)^3 . Rozklad, který navrhla J. , tedy nedává původní řadu. Toť vše, co jsem chtěl říci svojí poznámkou,
další komentář k tomuto tématu nemám.
PS. Jen ještě maličkost: Mám dojem, že jsi bystře smazal jeden ze svých předchozích příspěvků (:-)). Ale proč ne ?

Cheop · 06. 04. 2009 11:10 — Editoval Cheop (06. 04. 2009 11:11)

↑ Rumburak:

Máš pravdu ten rozklad Jeleny je bohužel špatně. Dává to v součtu opravdu 5/8 sin^3 x
Takže můj předchozí příspěvej je rovněž špatně.

lukaszh · 06. 04. 2009 11:35

↑ Cheop:
Zaujímavé, že ti to vychádza :-)
↑ Rumburak:
Áno zmazal, no comment ;-), ja som si tú chybičku nevšimol.

Cheop · 06. 04. 2009 11:54 — Editoval Cheop (06. 04. 2009 12:02)

↑ lukaszh:
Jak vidíš nevychádzá.
Už to píšu, že je rozklad Jeleny špatně.
Součet více členů těch dvou řad (od Jeleny) vyjde víc než požadovaných 16/9

Cheop · 06. 04. 2009 13:08 — Editoval Cheop (06. 04. 2009 13:20)

↑ Rumburak:
Rozklad Jeleny by byl v pořádku, kdyby zadaná řada byla tato:
$1+\sin\,x+\frac 34\cdot\sin^2x+\frac 58\cdot\sin^3x+\cdots=\frac{16}{9}$
Pak by byl výsledek:
$\sin\,x=\frac{39-\sqrt{373}}{41}\,\approx\,0,48016566$ jako součet dvou nekonečných řad.

Součet prvních 21 členů je přibližně $1,77747669$ takže se to pomalu blíží k požadovaným $1,7777777777777$

Osobně si myslím, že u původního zadání je špatně absolutní člen u $\sin^3x$

PS: Chtělo by to, aby zadavatel úlohy překontroloval zadání.

Rumburak · 06. 04. 2009 15:37

↑ Cheop:
Možné je i to. Ale současné zadání (s koef. 4/8) - podstatným způsobem vyřešené lukaszhem - vede k rovnici sin x = 1/2
(pokud jsem to správně dopočítal), což naznačuje, že by toto zadání mohlo být i správně.

Blizzy · 06. 04. 2009 15:57

↑ Cheop: Zadání je přesně opsané z tištěné verze,
výsledek by měl být následující (ten mám u příkladu tužkou dopsaný, takže nemusí být 100% správně):

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

(lukaszovo řešení bude asi správné, pokud má rumburak pravdu :) )

Já sám jsem nejdříve zkoušel spočítat n-tý člen posloupnosti a vyšel následovně:
$a_n = \sin^{n-1} \cdot \frac{n}{2^{n-1}} = \frac{\sin^n x}{\sin x} \cdot \frac {2n}{2^n} = \frac {2n}{\sin x} \cdot ( \frac {\sin x}{2} )^n$

Pak jsem došel na to, že to není ani aritmetická ani geometrická posloupnost, a že se dá ta posloupnost zapsat také takto:
$\frac{2}{\sin x}(\frac {\sin x}{2})^1 + \frac{4}{\sin x}(\frac {\sin x}{2})^2 + \frac{6}{\sin x}(\frac {\sin x}{2})^3 + \frac{8}{\sin x}(\frac {\sin x}{2})^4 + \ldots = \frac {16}{9}$

Pokud si vybereme substituci $a = \frac{\sin x}{2}$ a člen $a$ vytkneme, dostaneme:
$1+2a+3a^2+4a^3+5a^4+6a^5 + \ldots= \frac{16}{9}$
Takže potřebujeme vyřešit rovnici:
$\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot a^{n-1} = \frac{16}{9}$
Kterou jsem vyřešit nedokázal...

Není to běžná úloha pro střední školy, je to bonusový příklad pro matematický seminář, který jsme kdysi dostali a ještě ho nikdo nevyřešil.

jelena · 06. 04. 2009 20:24

Zdravím vás,

zadání je ze Sbírky maturitních příkladů, SNP, rok 1983 - taková tenká, bilý obal a modré, černé písměna.

Řešení tam není, výsledky jsou uvedeny tak, jak uvádí ↑ Blizzy:.

Můj postup nemá níc společného s rozkladem (nebo bych ho rozkladem nenazyvala) - jen jsem nahradila:

sin x = (1/2)*sin x + (1/2)*sin x

(3/4)*sin x = (2/4) * sin x + (1/4) sin x = (1/2) * sin x + (1/4)* sin x

(4/8)*sin x = (1/2)*sin x

Přišlo mi to už docela viditelné na 2 řady, dal jsem to opravdu nepočítala. Když jste začali diskutovat vysledky, tak jsem to zkoušela do svého návrhu dosadit a součet vychází na 11/6 (alespoň doufám, že jsem nechybovala).

tak si myslím, že celý problém bude v překlepu v zadání a má to být:

$1+\sin x + \frac {3}{4}\sin^2 x + \frac {4}{8}\sin^3 x + \ldots = \frac {11}{6}$

a v úpravě:

$1+\frac{1}{2}\sin x +\frac{1}{2}\sin x + \frac {1}{2}\sin^2 x +\frac {1}{4}\sin^2 x+ \frac {1}{2}\sin^3 x + \ldots = \frac {11}{6}$

s 1. a 2. radou, jak jsem uvedla ve svém 1. příspěvku v tomto tématu.

Snad pomůže.

Blizzy · 06. 04. 2009 22:07 — Editoval Blizzy (06. 04. 2009 22:16)

S lukaszovým vysvětlením vzorce $\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot r^{n}$ jsem pokračoval ve svém řešení následovně:
$\frac {1}{a} \cdot \frac{a}{(1-a)^2} = \frac {16}{9} \nl \frac {1}{(1-a)^2} = \frac {16}{9} \nl (1-a)^2 = \frac {9}{16} \nl 1-a = \frac {3}{4} \nl 1-\frac{\sin x}{2} = \frac {3}{4} \nl \sin x = \frac {1}{2}$

A vše podle výsledků vychází, jen ne rozdělením na 2 řady.

-----

EDIT: ↑ jelena:: Jak by vypadaly další členy řady (myslím tím rozdělených 5/16 sin^4 x)?

jelena · 06. 04. 2009 22:36

Ale ja opet opakuji, že jsem pouze provedla, že jeden dort je půl a půl dortu...

1. rada:

$a_1 = 1\nlq=\frac{1}{2}\sin x$

$1+\frac{1}{2}\sin x + \frac {1}{4}\sin^2 x+ \frac {1}{8}\sin^3 x + \frac {1}{16}\sin^4 x\ldots$

2. rada:

$a_1 =\frac{1}{2}\sin x\nlq=\sin x$

$\frac{1}{2}\sin x + \frac {1}{2}\sin^2 x + \frac {1}{2}\sin^3 x +\frac {1}{2}\sin^4 x \ldots$

sečteno do jedne tak?

$1+\sin x + \frac {3}{4}\sin^2 x + \frac {5}{8}\sin^3 x + \frac {9}{16}\sin^4 x\ldots$

halogan · 06. 04. 2009 22:42

↑ jelena:

A kdyby se ta řada měla zapsat jako suma? Jak by se zapsal čitatel? To máme 2, 3, 5, 9

Nebo co to vlastně rozkládáš?

jelena · 06. 04. 2009 22:43

Já už asi rozumím - v zadání není 5/8 ... ale pouze 4/8....

Dle mého ta 1/8... "vzníká" až jako 4. člen z první řady. My vidime 3 členy z první a 3 z druhé v samotném zadání.

Nebo já nevím, co vídím.

halogan · 06. 04. 2009 22:48

↑ jelena:

Ale už posečtené, takže se jejich "koeficienty" podle mého měnit nebudou.

jelena · 06. 04. 2009 22:57

↑ halogan:

Zdravím, já bych slibila, že budu uvažovat, ale nejsem přesvědčena, že to někam povede.

↑ jelena: - zde jsem pouze nahradila to co bylo v zadání něčim jiným - jak jsem napsala zde ↑ jelena: a měla jsem pocit, že vzniklo 2 rady.

Ale z tohoto rozkladu nevychází součet. Tak mám zrejmě takovou chybu, kterou nevidím.

jelena · 08. 04. 2009 17:40

Zdravím vás,

ne, že bych nad touto úlohou nějak extra uvažovala, ale měla bych se vyjádřit ke své nedůslednosti - provědla jsem alegebraicky "bezproblémovou úpravu", ale nezkontrolovala jsem ani to, kam ta uprava vede, ani cely postup.

Až toto upozornění kolegy ↑ halogan: mi to ujasnilo - co jsem měla alespoň vidět, když už ne-vědět, tak se omlouvám, že jsem byla nedůsledna (případně mi můžete přidělit i nějakého toho "jelena" - návod je zde, příspěvek 8).

Ovšem - opět jsem se podívala do sbírky maturitních úloh a celý komplet zadání č. 5 zde uvádím. A musíte souhlasít, že úlohy a) až e) pro celou sešlost tohoto tématu by byla zcela zanedbatelná a nezajimavá záležitost. A najednou se tam objeví taková perla - úloha f). Metodicky se mi to velmi nezda.

Buď tam přece jen je chyba v zadání a nebo to zadání je tak banální, že to uniká.

a) $\frac{8}{x+10}=1-\frac{3}{x}+\frac{9}{x^2}-\frac{27}{x^3}+\ldots$

b) $\frac{\sqrt 2}{2}=1-x+x^2-x^3+\ldots$

c) $\frac53=x+3x^2+x^3+3x^4+\ldots$

d) $\frac{-2}{5}=x-2x^2+x^3-2x^4+\ldots$

e) $1-\mathrm tgx+\mathrm tg^2x-\mathrm tg^3x+\ldots=\frac{\mathrm tg2x}{1+\mathrm tg2x}$

f) $1+\sin x + \frac {3}{4}\sin^2 x + \frac {4}{8}\sin^3 x + \ldots = \frac {16}{9}$

Zatím se loučím, musím do realu, ať se daří.

gadgetka · 08. 04. 2009 19:16

jelenko, já jsem si dokonce jista, že jsme tento příklad kdysi na gymplu dělali, o toho víc mne štve, že mne teď žádné jednoduché řešení nenapadá ... :))

mák · 10. 04. 2009 21:54

Pokud bude řada takto:
$\sum_{k=1}^{\infty }{k\,\left({{\sin x}\over{{2}}\right)^{\left(k-1\right)$
Pak prvních pět členů bude vypadat takto:
${{5\,\sin ^4x}\over{16}}+{{4\,\sin ^3x}\over{8}}+{{3\,\sin ^2x}\over{4 }}+\sin x+1$
Pokud nahradím výraz: ${{\sin x}\over{{2}}$ proměnou ${y}$ takto:
$\sum_{k=1}^{\infty }{k\,\left({y}\right)^{\left(k-1\right)$
pak Newtonovou iteraci (jiným způsobem to neumím zjistit) určím že
$y={{1}\over{{4}}$
a tudíž
$x={{\pi}\over{{6}}$
což zkouškou do původní řady vychází právě 16/9.

Matematické Fórum

#1 05. 04. 2009 22:44

Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#2 05. 04. 2009 23:17

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#3 05. 04. 2009 23:26

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#4 05. 04. 2009 23:37 — Editoval lukaszh (05. 04. 2009 23:52)

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#5 06. 04. 2009 00:09

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#6 06. 04. 2009 10:03 — Editoval Cheop (06. 04. 2009 10:16)

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#7 06. 04. 2009 10:12

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#8 06. 04. 2009 10:28

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#9 06. 04. 2009 11:05

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#10 06. 04. 2009 11:10 — Editoval Cheop (06. 04. 2009 11:11)

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#11 06. 04. 2009 11:35

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#12 06. 04. 2009 11:54 — Editoval Cheop (06. 04. 2009 12:02)

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#13 06. 04. 2009 13:08 — Editoval Cheop (06. 04. 2009 13:20)

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#14 06. 04. 2009 15:37

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#15 06. 04. 2009 15:57

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#16 06. 04. 2009 20:24

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#17 06. 04. 2009 22:07 — Editoval Blizzy (06. 04. 2009 22:16)

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#18 06. 04. 2009 22:36

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#19 06. 04. 2009 22:42

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#20 06. 04. 2009 22:43

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#21 06. 04. 2009 22:48

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#22 06. 04. 2009 22:57

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#23 08. 04. 2009 17:40

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#24 08. 04. 2009 19:16

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

#25 10. 04. 2009 21:54

Re: Rovnice s nekonečnou řadou a gon. funkcemi

Zápatí